Admita familiaridade com o conjunto R dos números reais, bem como das propriedades da adição e multiplicação em R. Em R também definese uma relação de ordem < satisfazendo os axiomas de ordem O1 a O4 descritos na página 5 . Sendo A um subconjunto não vazio de R, dizemos que A é bem-ordenado ou que A satisfaz o axioma da boa ordem se todo subconjunto não vazio de A possui um menor elemento. Quais dos seguintes conjuntos de números reais é bem-ordenado? Em caso positivo, demonstre sua afirmação. Em caso negativo, exiba um subconjunto não vazio sem um menor elemento.
R+=x in R mid x >= 0

Passo 1

O enunciado define a boa-ordem em R como a propriedade de que “todo subconjunto não vazio possui menor elemento”. Aqui A=R+=xinRmid x>=0. A pergunta é: será que R+, com a ordem usual, é bem-ordenado?

Passo 2

Para mostrar que R+ não é bem-ordenado, basta encontrar um subconjunto SsubsetR+, não vazio, que não tenha menor elemento em R+.

Passo 3

Considere
S = xinR+ mid 0 < x < 1
Então Sneqemptyset e SsubsetR+. Suponha, por contradição, que exista min S tal que m<= x para todo xin S. Como m>0, podemos tomar
y = m2que satisfaz 0<y<m<1,
logo yin S mas y<m, contradizendo a minimalidade de m. Assim, S não tem menor elemento.

Resposta

R+ não é bem-ordenado, pois o subconjunto S=(0,1) é não vazio e não possui menor elemento.

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