Admita familiaridade com o conjunto
dos números reais, bem como das propriedades da adição e multiplicação em
. Em
também definese uma relação de ordem < satisfazendo os axiomas de ordem O1 a O4 descritos na página 5 . Sendo
um subconjunto não vazio de
, dizemos que
é bem-ordenado ou que
satisfaz o axioma da boa ordem se todo subconjunto não vazio de
possui um menor elemento. Quais dos seguintes conjuntos de números reais é bem-ordenado? Em caso positivo, demonstre sua afirmação. Em caso negativo, exiba um subconjunto não vazio sem um menor elemento.
Passo 1
O enunciado define a boa-ordem em
como a propriedade de que “todo subconjunto não vazio possui menor elemento”. Aqui
. A pergunta é: será que
, com a ordem usual, é bem-ordenado?
Passo 2
Para mostrar que
não é bem-ordenado, basta encontrar um subconjunto
, não vazio, que não tenha menor elemento em
.
Passo 3
Considere
Então
e
. Suponha, por contradição, que exista
tal que
para todo
. Como
, podemos tomar
logo
mas
, contradizendo a minimalidade de
. Assim,
não tem menor elemento.