- Mostre que se
é um inteiro então
é o menor inteiro maior que
(Todo mundo sabe disto. Compete a você, futuro matemático, demonstrálo!).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro
, o número
é o menor inteiro estritamente maior que
. Vamos usar duas propriedades básicas de
:
- A ordem em
é compatível com adição. - O número
é o menor inteiro positivo.
Passo 2
Primeiro mostramos que
. Como
e a adição preserva desigualdades em
, somando
em ambos os lados de
obtemos
ou seja,
Passo 3
Agora seja
qualquer inteiro tal que
. Então a diferença
é um inteiro positivo. Pelo fato de
ser o menor inteiro positivo, temos
Somando
aos dois lados dessa desigualdade segue
Isso mostra que nenhum inteiro maior que
pode ser menor que
.
Passo 4
Reunindo os resultados:
é um inteiro maior que
, e qualquer outro inteiro
satisfaz
. Portanto
é o menor inteiro estritamente maior que
.
Resposta
Fica demonstrado que, se
é inteiro, então
é o menor inteiro maior que
.