• Mostre que se n é um inteiro então n+1 é o menor inteiro maior que n (Todo mundo sabe disto. Compete a você, futuro matemático, demonstrálo!).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro n, o número n+1 é o menor inteiro estritamente maior que n. Vamos usar duas propriedades básicas de Z:
  1. A ordem em Z é compatível com adição.
  2. O número 1 é o menor inteiro positivo.

Passo 2

Primeiro mostramos que n+1>n. Como 1>0 e a adição preserva desigualdades em Z, somando n em ambos os lados de 1>0 obtemos
n+1 > n+0,
ou seja,
n+1 > n

Passo 3

Agora seja minZ qualquer inteiro tal que m>n. Então a diferença
m - n
é um inteiro positivo. Pelo fato de 1 ser o menor inteiro positivo, temos
m - n >= 1
Somando n aos dois lados dessa desigualdade segue
m >= n + 1
Isso mostra que nenhum inteiro maior que n pode ser menor que n+1.

Passo 4

Reunindo os resultados: n+1 é um inteiro maior que n, e qualquer outro inteiro m>n satisfaz m>= n+1. Portanto n+1 é o menor inteiro estritamente maior que n.

Resposta

Fica demonstrado que, se n é inteiro, então n+1 é o menor inteiro maior que n.

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