Admita familiaridade com o conjunto R dos números reais, bem como das propriedades da adição e multiplicação em R. Em R também definese uma relação de ordem < satisfazendo os axiomas de ordem O1 a O4 descritos na página 5 . Sendo A um subconjunto não vazio de R, dizemos que A é bem-ordenado ou que A satisfaz o axioma da boa ordem se todo subconjunto não vazio de A possui um menor elemento. Quais dos seguintes conjuntos de números reais é bem-ordenado? Em caso positivo, demonstre sua afirmação. Em caso negativo, exiba um subconjunto não vazio sem um menor elemento.
Z

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto Z é bem-ordenado, isto é, se todo subconjunto não vazio de Z tem um menor elemento. Para isso, usaremos a definição de bem-ordenação e construiremos um exemplo de subconjunto de Z que não possui mínimo.

Passo 2

Relembrando a definição: um conjunto AsubseteqR é bem-ordenado (satisfaz o axioma da boa ordem) se, e somente se, todo subconjunto não vazio de A possui um menor elemento, ou seja, dado Bsubseteq A e Bneqvarnothing, existe min B tal que m<= x para todo xin B.

Passo 3

Para mostrar que Z não é bem-ordenado, basta encontrar um subconjunto não vazio de Z que não tenha menor elemento. Escolhemos o subconjunto dos inteiros negativos:
B = ,ninZmid n<0
Claramente Bneqvarnothing pois, por exemplo, -1in B.

Passo 4

Suponha, por absurdo, que B tivesse um menor elemento m. Então min B e m<0. Mas m-1 também é inteiro e satisfaz m-1<m<0, logo m-1in B e m-1<m, o que contradiz a hipótese de que m é o mínimo de B. Portanto não existe menor elemento em B.

Resposta

Z não é bem-ordenado.

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