Admita familiaridade com o conjunto
dos números reais, bem como das propriedades da adição e multiplicação em
. Em
também definese uma relação de ordem < satisfazendo os axiomas de ordem O1 a O4 descritos na página 5 . Sendo
um subconjunto não vazio de
, dizemos que
é bem-ordenado ou que
satisfaz o axioma da boa ordem se todo subconjunto não vazio de
possui um menor elemento. Quais dos seguintes conjuntos de números reais é bem-ordenado? Em caso positivo, demonstre sua afirmação. Em caso negativo, exiba um subconjunto não vazio sem um menor elemento.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é bem-ordenado, isto é, se todo subconjunto não vazio de
tem um menor elemento. Para isso, usaremos a definição de bem-ordenação e construiremos um exemplo de subconjunto de
que não possui mínimo.
Passo 2
Relembrando a definição: um conjunto
é bem-ordenado (satisfaz o axioma da boa ordem) se, e somente se, todo subconjunto não vazio de
possui um menor elemento, ou seja, dado
e
, existe
tal que
para todo
.
Passo 3
Para mostrar que
não é bem-ordenado, basta encontrar um subconjunto não vazio de
que não tenha menor elemento. Escolhemos o subconjunto dos inteiros negativos:
Claramente
pois, por exemplo,
.
Passo 4
Suponha, por absurdo, que
tivesse um menor elemento
. Então
e
. Mas
também é inteiro e satisfaz
, logo
e
, o que contradiz a hipótese de que
é o mínimo de
. Portanto não existe menor elemento em
.