Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
x+2y -z ;+;w=0, -,x -y +2z -3t +w=0, x +y -2z ;-,w=0, ;z +t +w=0
pelo Método de Gauss–Jordan e depois classificá-lo (ver se é impossível, determinado ou indeterminado). Vamos montar a matriz aumentada e reduzi-la à forma escalonada reduzida (RREF).

Passo 2

Escrevendo a matriz aumentada na ordem de variáveis ,(x,y,z,t,w), temos
(rrrrr|r 1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0 -1 & -1 & 2 & -3 & 1 & 0 1 & 1 & -2 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 )

Passo 3

Eliminamos x em R2 e R3 usando R2 R2+R1 e R3 R3-R1:
(rrrrr|r 1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & -3 & 2 & 0 0 & -1 & -1 & 0 & -2 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 )

Passo 4

Eliminamos y em R3 com R3 R3+R2, e depois eliminamos z em R1,R2 usando R1 R1+R4 e R2 R2-R4. Obtemos
(rrrrr|r 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 0 & 1 & 0 & -4 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 )

Passo 5

Normalizando o pivô em R3 (dividindo por -3) dá t=0. Em seguida lemos as equações:
R4colon z+t+w=0implies z=-w,
R2colon y-4t+w=0implies y=-w,
R1colon x+2y+t+2w=0implies x+2(-w)+0+2w=0implies x=0.

Passo 6

Introduzimos o parâmetro livre w=s. Assim a solução geral é
(x,y,z,t,w)=(0,-s,-s,0,s), sinR

Passo 7

Há um parâmetro livre, logo o sistema é indeterminado (infinitas soluções), com dimensão do espaço-solução igual a 1.

Resposta

A solução geral é
(x,y,z,t,w)=(0,-s,-s,0,s), sinR,
e o sistema é indeterminado (infinitas soluções).

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