Admita familiaridade com o conjunto R dos números reais, bem como das propriedades da adição e multiplicação em R. Em R também definese uma relação de ordem < satisfazendo os axiomas de ordem O1 a O4 descritos na página 5 . Sendo A um subconjunto não vazio de R, dizemos que A é bem-ordenado ou que A satisfaz o axioma da boa ordem se todo subconjunto não vazio de A possui um menor elemento. Quais dos seguintes conjuntos de números reais é bem-ordenado? Em caso positivo, demonstre sua afirmação. Em caso negativo, exiba um subconjunto não vazio sem um menor elemento.
P=x mid x=2 n, n in N

Passo 1

O enunciado define
P = x in R mid x = 2,n,;ninN
e pergunta se P é bem-ordenado, ou seja, se todo subconjunto não vazio de P tem um menor elemento. Vamos usar o fato de que N é bem-ordenado: todo subconjunto não vazio de N possui mínimo.

Passo 2

Seja Bsubseteq P um subconjunto não vazio. Por definição de P, para cada xin B existe um único ninN tal que x=2n. Definimos o conjunto
S = ,ninNmid 2nin B
Note que S é não vazio porque B é não vazio.

Passo 3

Como N é bem-ordenado, o conjunto SsubseteqN tem um menor elemento. Denotemos
n0 = min S

Passo 4

Então 2n0in B. Para ver que é o menor de B, seja yin B. Então y=2n com nin S, e por definição de n0 temos n0<= n. Como a multiplicação por 2 preserva ordem em R, vem
2n0 <= 2n = y
Logo 2n0 é o mínimo de B.

Resposta

P é bem-ordenado, pois todo subconjunto não vazio de P tem um menor elemento.

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