Admita familiaridade com o conjunto
dos números reais, bem como das propriedades da adição e multiplicação em
. Em
também definese uma relação de ordem < satisfazendo os axiomas de ordem O1 a O4 descritos na página 5 . Sendo
um subconjunto não vazio de
, dizemos que
é bem-ordenado ou que
satisfaz o axioma da boa ordem se todo subconjunto não vazio de
possui um menor elemento. Quais dos seguintes conjuntos de números reais é bem-ordenado? Em caso positivo, demonstre sua afirmação. Em caso negativo, exiba um subconjunto não vazio sem um menor elemento.
Passo 1
O enunciado define
e pergunta se
é bem-ordenado, ou seja, se todo subconjunto não vazio de
tem um menor elemento. Vamos usar o fato de que
é bem-ordenado: todo subconjunto não vazio de
possui mínimo.
Passo 2
Seja
um subconjunto não vazio. Por definição de
, para cada
existe um único
tal que
. Definimos o conjunto
Note que
é não vazio porque
é não vazio.
Passo 3
Como
é bem-ordenado, o conjunto
tem um menor elemento. Denotemos
Passo 4
Então
. Para ver que é o menor de
, seja
. Então
com
, e por definição de
temos
. Como a multiplicação por
preserva ordem em
, vem
Logo
é o mínimo de
.