Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
l3 x+5 y=1 2 x+z=3, 5 x+y-z=0

Passo 1

O enunciado dá o sistema
3x+5y+0z=1, 2x+0y+1z=3, 5x+1y-1z=0,
e pede para resolvê-lo pelo método de Gauss-Jordan e classificá-lo. Precisamos montar a matriz aumentada, aplicar operações elementares até chegar à forma reduzida por linhas (RREF) e, então, ler a solução e ver se é única, infinita ou inexistente.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e procuramos pivô em (1,1):
(ccc|c 3 & 5 & 0 & 1 2 & 0 & 1 & 3 5 & 1 & -1 & 0 )
Dividimos a linha 1 por 3 para ter pivô 1 em (1,1):
L1 tfrac13L1 ;Longrightarrow; (ccc|c 1 & tfrac53 & 0 & tfrac13 2 & 0 & 1 & 3 5 & 1 & -1 & 0 )
Eliminamos a entrada (2,1) e (3,1)!:
L2 L2-2L1, L3 L3-5L1
resultando em
(ccc|c 1 & tfrac53 & 0 & tfrac13 0 & -tfrac103 & 1 & tfrac73 0 & -tfrac223 & -1 & -tfrac53 )

Passo 3

Agora pivô em (2,2). Normalizamos a linha 2 e zeramos acima e abaixo:
L2 -tfrac310L2 ;Longrightarrow; (ccc|c 1 & tfrac53 & 0 & tfrac13 0 & 1 & -tfrac310 & -tfrac710 0 & -tfrac223 & -1 & -tfrac53 )
L1 L1-tfrac53L2, L3 L3+tfrac223L2 ;Longrightarrow; (ccc|c 1 & 0 & tfrac12 & tfrac32 0 & 1 & -tfrac310 & -tfrac710 0 & 0 & -tfrac165 & -tfrac345 )

Passo 4

Finalmente, pivô em (3,3). Normalizamos e zeramos acima:
L3 -tfrac516L3 ;Longrightarrow; (ccc|c 1 & 0 & tfrac12 & tfrac32 0 & 1 & -tfrac310 & -tfrac710 0 & 0 & 1 & tfrac178 ),
L1 L1-tfrac12L3, L2 L2+tfrac310L3 ;Longrightarrow; (ccc|c 1 & 0 & 0 & tfrac716 0 & 1 & 0 & -tfrac116 0 & 0 & 1 & tfrac178 )
Da forma reduzida temos
x=tfrac716, y=-tfrac116, z=tfrac178

Resposta

O sistema é possível e determinado, com solução
l(x,y,zr)=l(tfrac716,-tfrac116,tfrac178r)

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