Admita a função horária de um corpo de um sistema massa-mola expressa por
x(t)=2 \operatorname{sen}\left(\frac{8 \pi}{3} t+\frac{\pi}{4}\right)
Após 20 s de movimento, à partir de \mathrm{t}=0, quantas vezes o corpo passou pelo ponto de equilíbrio?

Passo 1

O enunciado dá a função horária
x(t)=2\operatorname{sen}\!\left(\frac{8\pi}{3}t+\frac{\pi}{4}\right)
e pede: a partir de \,t=0, em um intervalo de 20 segundos, quantas vezes o corpo passou pelo ponto de equilíbrio ( x=0). Informações relevantes extraídas:
  • Amplitude: 2 (não usada diretamente para contar passagens pelo equilíbrio).
  • A condição de equilíbrio é x(t)=0.
  • Intervalo de tempo a considerar: de t=0 até t=20\\ \text{s}.

Passo 2

Entender quando x(t)=0. Para a função \sin, vale que \sin(\theta)=0 exatamente quando \theta=k\pi, com k inteiro. Aplicando isso ao argumento da função:
\frac{8\pi}{3}t+\frac{\pi}{4}=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Essa é a equação que gera todos os instantes em que o corpo está no equilíbrio.

Passo 3

Isolar t na equação acima. Subtraindo \frac{\pi}{4} e dividindo por \tfrac{8\pi}{3}:
t=\frac{k\pi-\tfrac{\pi}{4}}{\tfrac{8\pi}{3}}.
Fatorando \pi e simplificando:
t=\frac{\pi\!\left(k-\tfrac{1}{4}\right)}{\tfrac{8\pi}{3}}=\left(k-\tfrac{1}{4}\right)\frac{3}{8}.
Portanto os instantes de equilíbrio são
t_k=\frac{3}{8}\left(k-\frac{1}{4}\right),\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Calcular a frequência temporal útil (período e meia-período) para intuir a periodicidade das passagens.
A frequência angular é \omega=\dfrac{8\pi}{3}. O período é
T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\tfrac{8\pi}{3}}=\frac{3}{4}\\ \text{s}.
As passagens por x=0 ocorrem a cada meia-período, isto é a cada
\Delta t=\frac{T}{2}=\frac{3}{8}=0{,}375\\ \text{s},
o que bate com a diferença entre valores consecutivos de t_k.

Passo 5

Determinar o primeiro instante positivo de equilíbrio (menor t_k>0). Tomando k=1:
t_1=\frac{3}{8}\left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{8}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{32}=0{,}28125\\ \text{s}.
Isso é positivo, logo o menor índice inteiro que gera um tempo positivo é k=1.

Passo 6

Contar quantos desses instantes cabem até t=20\\ \text{s}. Queremos os k tais que 0<t_k\le20. Usando a expressão de t_k:
0<\frac{3}{8}\left(k-\frac{1}{4}\right)\le20.
Multiplicando por \tfrac{8}{3}:
0<k-\frac{1}{4}\le\frac{160}{3}.
Somando \tfrac{1}{4}:
\frac{1}{4}<k\le\frac{160}{3}+\frac{1}{4}=\frac{643}{12}\approx53{,}58.
Como k é inteiro, k varia de 1 até 53 inclusive. Isso dá 53 instantes.

Passo 7

Verificação rápida por contagem alternativa: como o primeiro zero positivo é t_1=0{,}28125\\ \text{s} e os zeros ocorrem a cada \Delta t=0{,}375\\ \text{s}, o número de passagens até 20\\ \text{s} é
\left\lfloor\frac{20-t_1}{\Delta t}\right\rfloor+1 =\left\lfloor\frac{20-0{,}28125}{0{,}375}\right\rfloor+1 =\left\lfloor52{,}5833\ldots\right\rfloor+1=52+1=53,
confirmando o resultado anterior.

Resposta

53 vezes

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