Admita a função horária de um corpo de um sistema massa-mola expressa por
Após 20 s de movimento, à partir de
, quantas vezes o corpo passou pelo ponto de equilíbrio?
Passo 1
O enunciado dá a função horária
e pede: a partir de
, em um intervalo de
segundos, quantas vezes o corpo passou pelo ponto de equilíbrio (
). Informações relevantes extraídas:
- Amplitude:
(não usada diretamente para contar passagens pelo equilíbrio). - A condição de equilíbrio é
. - Intervalo de tempo a considerar: de
até .
Passo 2
Entender quando
. Para a função
, vale que
exatamente quando
, com
inteiro. Aplicando isso ao argumento da função:
Essa é a equação que gera todos os instantes em que o corpo está no equilíbrio.
Passo 3
Isolar
na equação acima. Subtraindo
e dividindo por
:
Fatorando
e simplificando:
Portanto os instantes de equilíbrio são
Passo 4
Calcular a frequência temporal útil (período e meia-período) para intuir a periodicidade das passagens.
A frequência angular é . O período é
A frequência angular é
As passagens por
ocorrem a cada meia-período, isto é a cada
o que bate com a diferença entre valores consecutivos de
.
Passo 5
Determinar o primeiro instante positivo de equilíbrio (menor
). Tomando
:
Isso é positivo, logo o menor índice inteiro que gera um tempo positivo é
.
Passo 6
Contar quantos desses instantes cabem até
. Queremos os
tais que
. Usando a expressão de
:
Multiplicando por
:
Somando
:
Como
é inteiro,
varia de
até
inclusive. Isso dá
instantes.
Passo 7
Verificação rápida por contagem alternativa: como o primeiro zero positivo é
e os zeros ocorrem a cada
, o número de passagens até
é
confirmando o resultado anterior.
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