Admita que as funções trigonométricas e as funções hiperbólicas são definidas para argumento complexo pela série de potências adequada.
sin z & =sumn=0^infty(-1)^n z^2 n+1(2 n+1)!, cos z=sumn=0^infty(-1)^n z^2 n(2 n)! sinh z & =sumn=0^infty z^2 n+1(2 n+1)!, cosh z=sumn=0^infty z^2 n(2 n)!
Mostre que
i sin z=sinh i z, & sin i z=i sinh z cos z=cosh i z, & cos i z=cosh z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para mostrar que as funções trigonométricas (como seno e cosseno) estão relacionadas com as funções hiperbólicas (como seno hiperbólico e cosseno hiperbólico) quando a gente usa números complexos. Para isso, vamos precisar das séries de potências dessas funções e entender um pouco sobre como elas se comportam com números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são definidas as séries de potências para as funções seno, cosseno, seno hiperbólico e cosseno hiperbólico:
sin z &= sumn=0^infty(-1)^n z^2n+1(2n+1)!, cos z &= sumn=0^infty(-1)^n z^2n(2n)!, sinh z &= sumn=0^infty z^2n+1(2n+1)!, cosh z &= sumn=0^infty z^2n(2n)!
Essas séries são essenciais porque nos permitem trabalhar com funções de maneira geral, especialmente quando lidamos com números complexos.

Passo 3

Vamos começar verificando a primeira igualdade: sinh(iz) = sumn=0^infty (iz)^2n+1(2n+1)! .
Primeiro, substituímos (iz)^2n+1 = i^2n+1 z^2n+1 = i cdot (i^2)^n z^2n+1 = i cdot (-1)^n z^2n+1 na série de sinh(iz) = sumn=0^infty i (-1)^n z^2n+1(2n+1)! = i sumn=0^infty (-1)^n z^2n+1(2n+1)! = i sin z :
Agora, vamos simplificar :
Então,
Assim, mostramos que .

Passo 4

Agora, vamos provar a segunda igualdade: sin(iz) = sumn=0^infty (-1)^n (iz)^2n+1(2n+1)! .
Substituímos (iz)^2n+1 = i^2n+1 z^2n+1 = i cdot (i^2)^n z^2n+1 = i cdot (-1)^n z^2n+1 na série de sin(iz) = sumn=0^infty (-1)^n i (-1)^n z^2n+1(2n+1)! = i sumn=0^infty z^2n+1(2n+1)! = i sinh z :
Simplificando :
Então,
Portanto, comprovamos que .

Passo 5

Vamos seguir para a terceira igualdade: cosh(iz) = sumn=0^infty (iz)^2n(2n)! .
Substituímos (iz)^2n = i^2n z^2n = (i^2)^n z^2n = (-1)^n z^2n na série de cosh(iz) = sumn=0^infty (-1)^n z^2n(2n)! = sumn=0^infty (-1)^n z^2n(2n)! = cos z :
Simplificando :
Então,
Assim, mostramos que .

Passo 6

Por fim, vamos provar a última igualdade: cos(iz) = sumn=0^infty (-1)^n (iz)^2n(2n)! .
Substituímos (iz)^2n = i^2n z^2n = (i^2)^n z^2n = (-1)^n z^2n na série de cos(iz) = sumn=0^infty (-1)^n (-1)^n z^2n(2n)! = sumn=0^infty z^2n(2n)! = cosh z :
Simplificando :
Então,
Portanto, comprovamos que .

Resposta

Mostramos que:
i sin z &= sinh(iz), sin(iz) &= i sinh z, cos z &= cosh(iz), cos(iz) &= cosh z

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