Admita que as funções trigonométricas e as funções hiperbólicas são definidas para argumento complexo pela série de potências adequada.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para mostrar que as funções trigonométricas (como seno e cosseno) estão relacionadas com as funções hiperbólicas (como seno hiperbólico e cosseno hiperbólico) quando a gente usa números complexos. Para isso, vamos precisar das séries de potências dessas funções e entender um pouco sobre como elas se comportam com números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são definidas as séries de potências para as funções seno, cosseno, seno hiperbólico e cosseno hiperbólico:
Essas séries são essenciais porque nos permitem trabalhar com funções de maneira geral, especialmente quando lidamos com números complexos.
Passo 3
Vamos começar verificando a primeira igualdade:
.
Primeiro, substituímos
na série de
:
Agora, vamos simplificar
:
Então,
Assim, mostramos que
.
Passo 4
Agora, vamos provar a segunda igualdade:
.
Substituímos
na série de
:
Simplificando
:
Então,
Portanto, comprovamos que
.
Passo 5
Vamos seguir para a terceira igualdade:
.
Substituímos
na série de
:
Simplificando
:
Então,
Assim, mostramos que
.
Passo 6
Por fim, vamos provar a última igualdade:
.
Substituímos
na série de
:
Simplificando
:
Então,
Portanto, comprovamos que
.
Resposta
Mostramos que: