Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado:
c) y = (2 x + 1) / (x + 2), P = (1, 1)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo onde precisamos encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que representa a inclinação da curva em qualquer ponto . A função que temos é uma fração, então vamos usar a regra do quociente para derivar.
A regra do quociente diz que, se , então a derivada é:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular e :
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:

Passo 4

Agora que temos a derivada , vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com a inclinação e o ponto , usamos a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é .

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