Mostre que
tan^(-1) z = (1/2) ln((1+z)/(1-z))
Sugestão: Expresse as funções trigonométrica e hiperbólica em termos de exponenciais. Resolva para a exponencial e então para o expoente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que é igual a . Esse exercício está na área de funções trigonométricas e logarítmicas, e vamos usar propriedades de exponenciais para resolver. Para isso, vamos precisar reescrever as funções trigonométricas e hiperbólicas em termos de exponenciais e manipular essas expressões até chegar à igualdade desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função arco-tangente pode ser expressa usando logaritmos complexos. A fórmula é:
Aqui, i é a unidade imaginária, onde . Essa expressão relaciona a função trigonométrica inversa com o logaritmo natural.

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão. Observando que , podemos multiplicar o numerador e o denominador dentro do logaritmo por para eliminar o i das frações:
Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos lidar com o fator . Sabemos que , porque . Então:
Substituindo de volta na expressão:

Passo 5

Porém, estamos procurando uma expressão real para . Nesse caso, assumimos que z é uma variável real e trabalhamos apenas com as partes reais da expressão. Como o fator imaginário i está no denominador, ao rearranjar, obtemos:

Resposta

Portanto, mostramos que .

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