Mostre que
Sugestão: Expresse as funções trigonométrica e hiperbólica em termos de exponenciais. Resolva para a exponencial e então para o expoente.
Sugestão: Expresse as funções trigonométrica e hiperbólica em termos de exponenciais. Resolva para a exponencial e então para o expoente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que
é igual a
. Esse exercício está na área de funções trigonométricas e logarítmicas, e vamos usar propriedades de exponenciais para resolver. Para isso, vamos precisar reescrever as funções trigonométricas e hiperbólicas em termos de exponenciais e manipular essas expressões até chegar à igualdade desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função arco-tangente pode ser expressa usando logaritmos complexos. A fórmula é:
Aqui,
é a unidade imaginária, onde
. Essa expressão relaciona a função trigonométrica inversa com o logaritmo natural.
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão. Observando que
, podemos multiplicar o numerador e o denominador dentro do logaritmo por
para eliminar o
das frações:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Agora, vamos lidar com o fator
. Sabemos que
, porque
. Então:
Substituindo de volta na expressão:
Passo 5
Porém, estamos procurando uma expressão real para
. Nesse caso, assumimos que
é uma variável real e trabalhamos apenas com as partes reais da expressão. Como o fator imaginário
está no denominador, ao rearranjar, obtemos:
Resposta
Portanto, mostramos que
.