Calcular a função derivada associada a função, onde ela existir, nos seguintes casos:
n) h(u) = u / (1 + ln(u))

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar a derivada da função . Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente tratando sobre derivadas de funções que envolvem quocientes e logaritmos. Para resolver, vamos precisar aplicar a Regra do Quociente e conhecer a derivada da função logaritmo natural.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. A função é um quociente onde o numerador é e o denominador é .

Passo 3

A Regra do Quociente nos diz que se temos uma função na forma , a derivada dela é dada por:
Ou seja, a derivada do numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo sobre o denominador ao quadrado.

Passo 4

Vamos calcular e :
  • Para , a derivada é porque a derivada de em relação a é 1.
  • Para , a derivada é porque a derivada de uma constante é 0 e a derivada de é .

Passo 5

Agora, aplicando a Regra do Quociente:
Simplificando os termos do numerador:

Resposta

A derivada da função é:

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