Calcular a função derivada associada a função, onde ela existir, nos seguintes casos:
n)
n)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar a derivada da função
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente tratando sobre derivadas de funções que envolvem quocientes e logaritmos. Para resolver, vamos precisar aplicar a Regra do Quociente e conhecer a derivada da função logaritmo natural.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. A função
é um quociente onde o numerador é
e o denominador é
.
Passo 3
A Regra do Quociente nos diz que se temos uma função na forma
, a derivada dela é dada por:
Ou seja, a derivada do numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo sobre o denominador ao quadrado.
Passo 4
Vamos calcular
e
:
- Para
, a derivada é porque a derivada de em relação a é 1. - Para
, a derivada é porque a derivada de uma constante é 0 e a derivada de é .
Passo 5
Agora, aplicando a Regra do Quociente:
Simplificando os termos do numerador:
Resposta
A derivada da função
é: