Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
b)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função
usando a definição de derivada. Além disso, vamos determinar os domínios dessa função e da sua derivada. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada e como aplicar a definição básica dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função. A derivada, denotada por
ou
, representa a taxa de variação da função em relação à variável
. Usando a definição, a derivada de
é o limite:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Primeiro, calculamos
:
Passo 4
Expandindo
:
Então,
Passo 5
Subtraindo
de
:
Passo 6
Dividindo tudo por
:
Passo 7
Agora, tirando o limite quando
tende a 0:
Passo 8
Vamos determinar os domínios:
-
Domínio da função
: A função polinomial está definida para todos os números reais. Então, . -
Domínio da derivada
: A derivada também é um polinômio e está definida para todos os números reais. Portanto, .
Resposta
A derivada da função é
. Tanto a função
quanto a sua derivada estão definidas para todos os números reais, ou seja, seus domínios são
.