Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
b) f(t) = 2t^3 + t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função usando a definição de derivada. Além disso, vamos determinar os domínios dessa função e da sua derivada. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada e como aplicar a definição básica dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função. A derivada, denotada por ou , representa a taxa de variação da função em relação à variável . Usando a definição, a derivada de é o limite:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Primeiro, calculamos :

Passo 4

Expandindo :
Então,

Passo 5

Subtraindo de :

Passo 6

Dividindo tudo por :

Passo 7

Agora, tirando o limite quando tende a 0:

Passo 8

Vamos determinar os domínios:
  • Domínio da função : A função polinomial está definida para todos os números reais. Então, .
  • Domínio da derivada : A derivada também é um polinômio e está definida para todos os números reais. Portanto, .

Resposta

A derivada da função é . Tanto a função quanto a sua derivada estão definidas para todos os números reais, ou seja, seus domínios são .

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