Admita, por um momento, que raiz1+i tem algum significado no sistema de números complexos. Como você demonstraria a validade da igualdade
raiz1+i=raiz12+12 raiz2+i raiz-12+12 raiz2 ?

Passo 1

Resumo do enunciado: a tarefa é mostrar que raiz1+i pode ser escrito na forma real + i vezes real, mais precisamente que
O conteúdo envolvido é a definição de raiz quadrada de número complexo via solução de (a+ib)^2=z. Vamos buscar a,binR tais que

Passo 2

Suponha raiz1+i=a+ib. Então
(a+ib)^2=a^2-b^2+2iab=1+i

Passo 3

Igualando parte real e imaginária obtemos o sistema
a^2-b^2=1,2ab=1

Passo 4

Da segunda equação vem b=tfrac12a. Substituindo na primeira:
a^2-l(tfrac12ar)^2=1implies4a^4-4a^2-1=0

Passo 5

Fazendo x=a^2 temos
4x^2-4x-1=0implies x=1+raiz22(x>0)

Passo 6

Logo
a=raiz1+raiz22(a>0)

Passo 7

Para b^2, use b^2=a^2-1:
b^2=1+raiz22-1=raiz2-12implies b=raizraiz2-12

Passo 8

Portanto encontramos
raiz1+i=a+ib=raiz1+raiz22+i,raizraiz2-12, que é exatamente a expressão desejada.

Resposta

raiz1+i=raiztfrac12+tfrac12raiz2+i,raiz-tfrac12+tfrac12raiz2

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