Calcule os seguintes limites, caso existam. Se não existirem, explique por quê:
\quad \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y}{2 x{4}+x{2} y+y^{2}}
\quad \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y}{2 x{4}+x{2} y+y^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando \(x,y)\ se aproxima de (0,0). O conteúdo aqui é limite em várias variáveis e, para verificar existência, vamos usar o método de comparar valores da função ao longo de caminhos diferentes rumo a (0,0).
Passo 2
Primeiro, escolhemos o caminho y=0. Substituindo y=0 em
ficamos com
Logo, ao longo de y=0 o limite vale 0.
Passo 3
Agora escolhemos o caminho y=kx^{2}, onde k é um parâmetro real qualquer. Substituindo y=kx^{2} em
obtemos
Após a substituição temos
Após a substituição temos
Passo 4
Vemos que ao variar k o valor
muda. Como o limite ao longo de diferentes caminhos dá valores distintos, não há valor único para o limite.
Portanto, o limite não existe porque seu resultado depende do parâmetro k do caminho escolhido.
Portanto, o limite não existe porque seu resultado depende do parâmetro k do caminho escolhido.
Resposta
O limite não existe, pois, ao longo de diferentes caminhos (por exemplo y=0 e y=kx²), obtemos valores distintos.