Calcule os seguintes limites, caso existam. Se não existirem, explique por quê:
\quad \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y}{2 x{4}+x{2} y+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando \(x,y)\ se aproxima de (0,0). O conteúdo aqui é limite em várias variáveis e, para verificar existência, vamos usar o método de comparar valores da função ao longo de caminhos diferentes rumo a (0,0).

Passo 2

Primeiro, escolhemos o caminho y=0. Substituindo y=0 em
x^2y2x^4+x^2y+y^2
ficamos com
x^2cdot 02x^4+x^2cdot 0+0^2=0
Logo, ao longo de y=0 o limite vale 0.

Passo 3

Agora escolhemos o caminho y=kx^{2}, onde k é um parâmetro real qualquer. Substituindo y=kx^{2} em
x^2y2x^4+x^2y+y^2
obtemos
Após a substituição temos
x^2cdot (kx^2)2x^4+x^2cdot(kx^2)+(kx^2)^2 =kx^42x^4+k x^4+k^2x^4 =kx^4(2+k+k^2)x^4 =k2+k+k^2

Passo 4

Vemos que ao variar k o valor k/(2+k+k^2) muda. Como o limite ao longo de diferentes caminhos dá valores distintos, não há valor único para o limite.
Portanto, o limite não existe porque seu resultado depende do parâmetro k do caminho escolhido.

Resposta

O limite não existe, pois, ao longo de diferentes caminhos (por exemplo y=0 e y=kx²), obtemos valores distintos.

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