Suponha que dois economistas estimem
(despesa familiar média com alimentação) com dois estimadores não viesados
e
(estatisticamente independentes). O segundo economista é menos cuidadoso que o primeiro, de maneira que o desvio padrão de
é cinco vezes maior do que o de
. Solicitado a informar sobre como combinar
e
para obter uma estimativa global publicável, um grupo de estatísticos apresentou as seguintes propostas:
a) Quais dos estimadores são não viesados ?
b) Dispor esses estimadores por ordem decrescente de eficiência.
(1)
(2)
(3)
(4)
a) Quais dos estimadores são não viesados ?
b) Dispor esses estimadores por ordem decrescente de eficiência.
(1)
(2)
(3)
(4)
Passo 1
O enunciado trata de combinar dois estimadores não viesados e independentes
e
, com
e
.
Queremos (a) verificar quais combinações propostas são não viesadas e (b) ordená-las por eficiência, onde eficiência mede-se pelo inverso da variância.
Queremos (a) verificar quais combinações propostas são não viesadas e (b) ordená-las por eficiência, onde eficiência mede-se pelo inverso da variância.
Passo 2
Uma combinação linear
é não viesada se
isto é, se
.
Verificando cada proposta:
(1)
(2)
(3)
(4)
Logo, todas as quatro são não viesadas.
Verificando cada proposta:
(1)
(2)
(3)
(4)
Logo, todas as quatro são não viesadas.
Passo 3
Para a variância de cada combinação usamos
pois os estimadores são independentes.
Passo 4
Calculamos caso a caso, tomando
como unidade:
(1)
:
(2)
:
,
(3)
:
,
(4)
:
,
Passo 5
Eficiência é inversamente proporcional à variância. Quanto menor a variância, mais eficiente. Assim, em ordem decrescente de eficiência:
Resposta
(a) Todas as quatro propostas são não viesadas.
(b) Ordem decrescente de eficiência:
(b) Ordem decrescente de eficiência: