Suponha que dois economistas estimem \mu (despesa familiar média com alimentação) com dois estimadores não viesados \hat{\mu}_{1} e \hat{\mu}_{2} (estatisticamente independentes). O segundo economista é menos cuidadoso que o primeiro, de maneira que o desvio padrão de \hat{\mu}_{2} é cinco vezes maior do que o de \hat{\mu}_{1}. Solicitado a informar sobre como combinar \hat{\mu}_{1} e \hat{\mu}_{2} para obter uma estimativa global publicável, um grupo de estatísticos apresentou as seguintes propostas:
a) Quais dos estimadores são não viesados ?
b) Dispor esses estimadores por ordem decrescente de eficiência.
(1) \quad \hat{W}_{1}=\frac{1}{2}\left(\hat{\mu}_{1}+\hat{\mu}_{2}\right)
(2) \hat{W}_{2}=\left(\frac{4}{5} \hat{\mu}_{1}+\frac{1}{5} \hat{\mu}_{2}\right)
(3) \hat{W}_{3}=\left(\frac{5}{6} \hat{\mu}_{1}+\frac{1}{6} \hat{\mu}_{2}\right)
(4) \hat{\mathrm{W}}_{4}=\hat{\mu}_{1}

Passo 1

O enunciado trata de combinar dois estimadores não viesados e independentes \hat{\mu}_{1} e \hat{\mu}_{2}, com \mathrm{Var}(\hat{\mu}_{1})=\sigma_{1}^{2} e \mathrm{Var}(\hat{\mu}_{2})=(5\sigma_{1})^{2}=25\sigma_{1}^{2}.
Queremos (a) verificar quais combinações propostas são não viesadas e (b) ordená-las por eficiência, onde eficiência mede-se pelo inverso da variância.

Passo 2

Uma combinação linear
\hat{W}=a\,\hat{\mu}_{1} + b\,\hat{\mu}_{2}
é não viesada se
\mathbb{E}[\hat{W}] = a\,\mathbb{E}[\hat{\mu}_{1}]+b\,\mathbb{E}[\hat{\mu}_{2}] = a\mu + b\mu = (a+b)\mu = \mu,
isto é, se a+b=1.
Verificando cada proposta:
(1) \tfrac12+\tfrac12=1
(2) \tfrac45+\tfrac15=1
(3) \tfrac56+\tfrac16=1
(4) 1+0=1
Logo, todas as quatro são não viesadas.

Passo 3

Para a variância de cada combinação usamos
\mathrm{Var}(a\,\hat{\mu}_{1} + b\,\hat{\mu}_{2}) = a^{2}\,\mathrm{Var}(\hat{\mu}_{1}) + b^{2}\,\mathrm{Var}(\hat{\mu}_{2}),
pois os estimadores são independentes.

Passo 4

Calculamos caso a caso, tomando \sigma_{1}^{2} como unidade:
(1) \hat{W}_{1}: a=b=\tfrac12
\mathrm{Var}(\hat{W}_{1}) = \tfrac14\,\sigma_{1}^{2} + \tfrac14\,(25\sigma_{1}^{2}) = 0{,}25 + 6{,}25 = 6{,}5\;\sigma_{1}^{2}.
(2) \hat{W}_{2}: a=\tfrac45, b=\tfrac15
\mathrm{Var}(\hat{W}_{2}) = \bigl(\tfrac45\bigr)^{2}\sigma_{1}^{2} + \bigl(\tfrac15\bigr)^{2}(25\sigma_{1}^{2}) = 0{,}64 + 1 = 1{,}64\;\sigma_{1}^{2}.
(3) \hat{W}_{3}: a=\tfrac56, b=\tfrac16
\mathrm{Var}(\hat{W}_{3}) = \bigl(\tfrac56\bigr)^{2}\sigma_{1}^{2} + \bigl(\tfrac16\bigr)^{2}(25\sigma_{1}^{2}) = \tfrac{25}{36} + \tfrac{25}{36} = \tfrac{50}{36}\approx1{,}389\;\sigma_{1}^{2}.
(4) \hat{W}_{4}=\hat{\mu}_{1}: a=1, b=0
\mathrm{Var}(\hat{W}_{4}) = 1^{2}\,\sigma_{1}^{2} + 0 = 1\;\sigma_{1}^{2}.

Passo 5

Eficiência é inversamente proporcional à variância. Quanto menor a variância, mais eficiente. Assim, em ordem decrescente de eficiência:
\hat{W}_{4}\;(\mathrm{Var}=1),\quad \hat{W}_{3}\;(\mathrm{Var}\approx1{,}389),\quad \hat{W}_{2}\;(\mathrm{Var}=1{,}64),\quad \hat{W}_{1}\;(\mathrm{Var}=6{,}5).

Resposta

(a) Todas as quatro propostas são não viesadas.
(b) Ordem decrescente de eficiência: \hat{W}_{4} \;>\; \hat{W}_{3} \;>\; \hat{W}_{2} \;>\; \hat{W}_{1}.

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