Admita que T(x, y)=16-2 x^2-y^2 represente uma distribuição de temperatura no plano x y. Determine uma parametrização para a trajetória descrita por um ponto P que se desloca, a partir do ponto (2,1), sempre na direção e sentido de máximo crescimento da temperatura.

Passo 1

O enunciado dá a temperatura no plano xy pela função
T(x,y) = 16 - 2x^2 - y^2
e pede uma parametrização da curva que parte de (2,1) e se move sempre na direção de máximo crescimento da temperatura. Isso envolve usar o gradiente de T e resolver um sistema de equações diferenciais.

Passo 2

O gradiente de T indica a direção de máximo crescimento e é dado por
nabla T(x,y) = l(partial Tpartial x,,partial Tpartial yr) = (-4x,,-2y)

Passo 3

Seja r(t) = (x(t),y(t)) a trajetória buscada, com r(0)=(2,1). Como o ponto se desloca na direção de nabla T, temos o sistema
x'(t) = -4,x(t), y'(t) = -2,y(t), x(0)=2, y(0)=1

Passo 4

Cada equação é separável. Para x(t):
dxdt = -4x Longrightarrow x(t) = C1 e^-4t
Impondo x(0)=2 C1=2, logo
x(t)=2e^-4t
De modo análogo para y(t):
dydt=-2y Longrightarrow y(t)=C2e^-2t,
e como y(0)=1 obtemos C2=1, ou seja
y(t)=e^-2t

Resposta

A parametrização da trajetória é
r(t)=l(2e^-4t,,e^-2tr), t>=0

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