Determine uma equaçāo da reta tangente à curva y=f(x) no ponto (x0, f(x0)) :
f(x)=-8raizx, x0=4

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva
y = f(x) = dfrac-8raizx
no ponto l(x0,f(x0)r) com x0=4.
Para isso precisamos calcular f(x0), a derivada f'(x) e avaliar f'(4), depois usar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Calcular o valor de f em x0=4:
f(4) = -8raiz4 = -82 = -4

Passo 3

Encontrar a derivada de f(x)= -8,x^-1/2. Usando a regra de potência:
f'(x) = -8 cdot l(-tfrac12r)x^-3/2 = 4x^-3/2 = 4x^3/2

Passo 4

Avaliar a derivada em x=4:
f'(4) = 44^3/2 = 4( raiz4 )^3 = 42^3 = 48 = tfrac12

Passo 5

Usar a forma ponto-inclinação da reta tangente:
y - y0 = m,(x - x0),
onde m=f'(4)=tfrac12 e (x0,y0)=(4,-4).
Substituindo:
y - (-4) = tfrac12,(x - 4) Longrightarrow y + 4 = tfrac12x - 2 Longrightarrow y = tfrac12x - 6

Resposta

A equação da reta tangente é
y = 12x - 6

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