Determine
e
reais para que a função
dada por
seja derivável em 1.
Passo 1
O enunciado define uma função a pedaços com quebra em
e pede para achar de modo que
seja derivável em
.
Para uma função ser derivável num ponto é preciso que ela seja contínua nesse ponto e que as derivadas laterais coincidam.
Passo 2
Impondo a continuidade em
x=1 , devemos ter
Do ramo à esquerda vem
f(1^-)=1^2=1 . Do ramo à direita vem
f(1^+)=acdot1+b=a+b . Igualando,
Passo 3
Agora igualamos as derivadas laterais em
x=1 . A derivada do ramo
x^2 é
A derivada do ramo
ax+b é constante
Para derivabilidade em
1 precisamos de
Passo 4
Substituindo
a=2 em
1=a+b obtemos