Determine a e b reais para que a função f dada por f(x)=l x^2 se a x+b se a >= 1 seja derivável em 1.

Passo 1

O enunciado define uma função a pedaços com quebra em
e pede para achar de modo que seja derivável em .
Para uma função ser derivável num ponto é preciso que ela seja contínua nesse ponto e que as derivadas laterais coincidam.

Passo 2

Impondo a continuidade em x=1, devemos ter
limxto1^-f(x)=limxto1^+f(x)=f(1)
Do ramo à esquerda vem f(1^-)=1^2=1. Do ramo à direita vem f(1^+)=acdot1+b=a+b. Igualando,
1=a+b

Passo 3

Agora igualamos as derivadas laterais em x=1. A derivada do ramo x^2 é
f'(x)=2xLongrightarrow f'(1^-)=2cdot1=2
A derivada do ramo ax+b é constante
f'(x)=aLongrightarrow f'(1^+)=a
Para derivabilidade em 1 precisamos de
2=a

Passo 4

Substituindo a=2 em 1=a+b obtemos
1=2+b Longrightarrow b=1-2=-1

Resposta

a=2,;b=-1

Exercícios relacionados