Calcule as integrais da forma que você achar melhor:
integral duplaS|x d y d z+y d z d x+z d x d y|, sendo S a parte da esfera x^2+y^2+z^2=1 abaixo do plano z=12
com normal exterior.

Passo 1

O enunciado pede
integral duplaSl|x,dy,dz ;+; y,dz,dx ;+; z,dx,dyr|,
onde S é a parte da esfera x^2+y^2+z^2=1 sob o plano z=tfrac12, com a normal exterior.
Isso é exatamente o fluxo da campo F=(x,y,z) através de S, tomado em valor absoluto:
x,dy,dz + y,dz,dx + z,dx,dy ;=; Fcdot n,dS
Vamos usar essa interpretação de fluxo para resolver.

Passo 2

Para a esfera de raio 1, o versor normal exterior unitário em cada ponto é
n=(x,y,z),
pois |(x,y,z)|=1. Então
Fcdot n =(x,y,z)cdot(x,y,z) =x^2+y^2+z^2 =1
Como isso é positivo em toda a esfera, o valor absoluto desaparece e o integrando vira
| Fcdot n|,dS =1cdot dS =dS

Passo 3

Logo, a integral original reduz-se à área da parte de S onde z<=tfrac12:
integral duplaSdS =área de (x,y,z):x^2+y^2+z^2=1,;z<=tfrac12 á
A área total da esfera é 4pi. A “tampa” superior acima de z=tfrac12 é um calote esférico de altura
h=1-tfrac12=tfrac12,
cuja área é
2pi R,h =2picdot1cdottfrac12 =pi
Portanto a área abaixo de z=tfrac12 vale
4pi-pi=3pi

Resposta

3pi

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