Calcule as integrais da forma que você achar melhor:
com normal exterior.
Passo 1
O enunciado pede
onde S é a parte da esfera x^2+y^2+z^2=1 sob o plano z=tfrac12, com a normal exterior.
Isso é exatamente o fluxo da campo F=(x,y,z) através de S, tomado em valor absoluto:
x,dy,dz + y,dz,dx + z,dx,dy ;=; Fcdot n,dS
Vamos usar essa interpretação de fluxo para resolver.
Passo 2
Para a esfera de raio 1, o versor normal exterior unitário em cada ponto é
n=(x,y,z),
pois |(x,y,z)|=1. Então
Fcdot n =(x,y,z)cdot(x,y,z) =x^2+y^2+z^2 =1
Como isso é positivo em toda a esfera, o valor absoluto desaparece e o integrando vira
| Fcdot n|,dS =1cdot dS =dS
Passo 3
Logo, a integral original reduz-se à área da parte de S onde z<=tfrac12:
integral duplaSdS =área de (x,y,z):x^2+y^2+z^2=1,;z<=tfrac12 á
A área total da esfera é 4pi. A “tampa” superior acima de z=tfrac12 é um calote esférico de altura