Utilize a regra da cadeia para determinar d zd t, em que
z=x^2+3 y^2, x=sen t e y=cos t.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função z que depende de x e y , e tanto x quanto y dependem de t . O conteúdo aqui é a Regra da Cadeia em cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y , além das derivadas de x e y em relação a t .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que temos:
z = x^2 + 3 y^2
x = sin t
y = cos t

Passo 3

A Regra da Cadeia para funções de várias variáveis nos diz que a derivada de z em relação a t é dada por:
dzdt = partial zpartial x cdot dxdt + partial zpartial y cdot dydt

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de z :
partial zpartial x = 2x
partial zpartial y = 6y

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas de x e y em relação a t :
dxdt = ddt (sin t) = cos t
dydt = ddt (cos t) = -sin t

Passo 6

Substituindo essas derivadas na fórmula da Regra da Cadeia:
dzdt = (2x) cdot (cos t) + (6y) cdot (-sin t)

Passo 7

Agora, substituímos x e y pelas suas expressões em termos de t :
dzdt = 2(sin t)(cos t) + 6(cos t)(-sin t)
dzdt = 2sin t cos t - 6sin t cos t
dzdt = -4sin t cos t

Resposta

A derivada dzdt é igual a:
dzdt = -4 sin t cos t

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