1. Admita que o sistema lx^2-x t-y^2 t^2+2 s+2=0 y^2-2 y t+x t^2-y s+s^2-6=0 define x e y como funções de t e s e calcule as derivadas partial xpartial t, partial xpartial s, partial ypartial t e partial ypartial s, no ponto em que x=2, y=0, t=1 e s=1.

Passo 1

O enunciado dá o sistema implicitamente
F1(x,y,t,s)=x^2-x,t - y^2t^2 + 2s + 2 = 0, F2(x,y,t,s)=y^2-2y,t + x,t^2 - y,s + s^2-6=0,
e diz que x e y são funções de (t,s). Queremos calcular as derivadas parciais partial x/partial t, partial x/partial s, partial y/partial t e partial y/partial s no ponto (x,y,t,s)=(2,0,1,1). Para isso vamos usar o Teorema da Função Implícita, que leva a resolver sistemas lineares envolvendo as derivadas de F1 e F2.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de F1 e F2 em relação a x, y, t e s:
F1x&=2x - t, &F1y&=-2y,t^2, &F1t&=-x - 2y^2t, &F1s&=2, F2x&=t^2, &F2y&=2y - 2t - s, &F2t&=-2y + 2x,t, &F2s&=-y + 2s

Passo 3

Avalie essas derivadas no ponto (x,y,t,s)=(2,0,1,1):
F1x&=2cdot2 - 1 = 3, &F1y&=-2cdot0cdot1^2=0, &F1t&=-2 -0 = -2, &F1s&=2, F2x&=1^2=1, &F2y&=0 -2 -1 = -3, &F2t&=0 +2cdot2cdot1 = 4, &F2s&=0 +2cdot1 = 2

Passo 4

Pela função implícita, as derivadas satisfazem
No ponto isso vira
Da primeira linha vem , logo
Da segunda linha, . Substituindo

Passo 5

Analogamente para resolvemos
Da primeira linha , logo
Da segunda linha, . Substituindo

Resposta

partial xpartial t=23, partial xpartial s=-23, partial ypartial t=149, partial ypartial s=49

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