Ex. 12 Verifique se as funções são diferenciáveis:
Função no ponto ( 1,3 )

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
fcolon R^2toR, f(x,y)=x^2y
é diferenciável no ponto (1,3).
O conteúdo é diferenciabilidade em várias variáveis, que exige (1) calcular as derivadas parciais, (2) montar a aproximação linear (diferencial) e (3) mostrar que o “resto” é pequeno em comparação com a norma do incremento.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f em (x,y):
partial fpartial x(x,y)=2x,y, partial fpartial y(x,y)=x^2
Em particular, em (1,3) temos
partial fpartial x(1,3)=2cdot1cdot3=6, partial fpartial y(1,3)=1^2=1

Passo 3

A aproximação linear (o diferencial) no ponto (1,3) é a aplicação linear
L(h,k)=6,h ;+;1cdot k
Ou seja, a predição de f para (1+h,3+k) é
f(1,3) + L(h,k) = 3 + (6h + k)

Passo 4

Para verificar o erro, expanda
f(1+h,3+k) = (1+h)^2,(3+k) =3 + k +6h +2h,k +3h^2 + h^2,k
Então o resto R(h,k) é
R(h,k) = f(1+h,3+k) - l[f(1,3) + L(h,k)r] = l(3 + k +6h +2h k +3h^2 + h^2kr) - l(3 +6h +kr) =2h k +3h^2 + h^2 k

Passo 5

Mostramos que
|R(h,k)|raizh^2+k^2 ;<=; 2|h||k| +3|h|^2 + |h|^2|k|raizh^2+k^2
Como raizh^2+k^2 domina |h| e |k| quando (h,k)to(0,0), cada termo acima dividido por raizh^2+k^2 tende a zero. Logo
lim(h,k)to(0,0) R(h,k)raizh^2+k^2 = 0,
o que é exatamente a condição de diferenciabilidade.

Resposta

A função é diferenciável em (1,3) e seu diferencial é
Df(1,3)(h,k) = 6h + k

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