Ex. 12 Verifique se as funções são diferenciáveis:
Função no ponto ( 1,3 )
Função no ponto ( 1,3 )
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é diferenciável no ponto
.
O conteúdo é diferenciabilidade em várias variáveis, que exige (1) calcular as derivadas parciais, (2) montar a aproximação linear (diferencial) e (3) mostrar que o “resto” é pequeno em comparação com a norma do incremento.
O conteúdo é diferenciabilidade em várias variáveis, que exige (1) calcular as derivadas parciais, (2) montar a aproximação linear (diferencial) e (3) mostrar que o “resto” é pequeno em comparação com a norma do incremento.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de
em
:
Em particular, em
temos
Passo 3
A aproximação linear (o diferencial) no ponto
é a aplicação linear
Ou seja, a predição de
para
é
Passo 4
Para verificar o erro, expanda
Então o resto
é
Passo 5
Mostramos que
Como
domina
e
quando
, cada termo acima dividido por
tende a zero. Logo
o que é exatamente a condição de diferenciabilidade.
Resposta
A função é diferenciável em
e seu diferencial é