QUESTA
- Determine se as seguintes séries convergem ou divergem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada. Isso porque o termo geral
faz com que os sinais dos termos alternem entre positivo e negativo conforme
aumenta. Séries alternadas têm características especiais que podemos aproveitar para analisar a convergência.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste nos diz que uma série da forma
converge se:
- Os termos
são positivos. - Os
são decrescentes: para todo . - O limite de
quando tende ao infinito é zero: .
Vamos verificar cada uma dessas condições para a nossa série.
Passo 4
Primeiro, observamos que
é positivo para
(já que o logaritmo natural de números maiores que 1 é positivo). Para
,
, então o termo é zero. Mas como estamos somando do
ao infinito, isso não afeta a convergência.
Passo 5
Segundo, vamos ver se
é decrescente. Para isso, analisamos a derivada da função
. Calculando:
Para
(onde
),
, então
. Isso mostra que
é decrescente para
suficientemente grande.
Passo 6
Terceiro, calculamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Aqui, o numerador cresce mais lentamente que o denominador. De fato, sabemos que:
Então, a terceira condição do teste está satisfeita.
Passo 7
Como todas as condições do Teste da Série Alternada foram atendidas (termos positivos, decrescentes e com limite zero), podemos concluir que a série
converge.
Resposta
A série
converge.