3^ a QUESTA A O - Determine se as seguintes séries convergem ou divergem:
s4=sumk=1^+infty(-1)^k+1 ln kk

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a série s4 = sumk=1^+infty(-1)^k+1 ln kk converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada. Isso porque o termo geral (-1)^k+1 faz com que os sinais dos termos alternem entre positivo e negativo conforme k aumenta. Séries alternadas têm características especiais que podemos aproveitar para analisar a convergência.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste nos diz que uma série da forma sumk=1^+infty (-1)^k+1 ak converge se:
  1. Os termos ak são positivos.
  2. Os ak são decrescentes: ak+1 <= ak para todo k .
  3. O limite de ak quando k tende ao infinito é zero: limk to infty ak = 0 .
Vamos verificar cada uma dessas condições para a nossa série.

Passo 4

Primeiro, observamos que ak = ln kk é positivo para k >= 2 (já que o logaritmo natural de números maiores que 1 é positivo). Para k = 1 , ln 1 = 0 , então o termo é zero. Mas como estamos somando do k = 1 ao infinito, isso não afeta a convergência.

Passo 5

Segundo, vamos ver se ak é decrescente. Para isso, analisamos a derivada da função f(k) = ln kk . Calculando:
f'(k) = 1k cdot 1k - ln kk^2 = 1 - ln kk^2
Para k > e (onde e approx 2,718 ), ln k > 1 , então f'(k) < 0 . Isso mostra que ak é decrescente para k suficientemente grande.

Passo 6

Terceiro, calculamos o limite de ak quando k tende ao infinito:
limk to infty ln kk
Aqui, o numerador cresce mais lentamente que o denominador. De fato, sabemos que:
limk to infty ln kk = 0
Então, a terceira condição do teste está satisfeita.

Passo 7

Como todas as condições do Teste da Série Alternada foram atendidas (termos positivos, decrescentes e com limite zero), podemos concluir que a série s4 = sumk=1^+infty(-1)^k+1 ln kk converge.

Resposta

A série s4 = sumk=1^+infty(-1)^k+1 ln kk converge.

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