Seja x partial Fpartial x+y partial Fpartial y+z partial Fpartial z=0 . Mostre que

Passo 1

A questão pede para mostrar que se definirmos F(x,y,z)=f\bigl(x/y,,y/z,,z/x\bigr), então x∂F/∂x+y∂F/∂y+z∂F/∂z=0. O conteúdo principal envolve usar a regra da cadeia para derivadas parciais de funções compostas.

Passo 2

Definimos as variáveis auxiliares u=x/y, v=y/z e w=z/x. Precisamos dos parciais de u, v, w em relação a x, y, z. Veja:

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia temos
F_x = f_u \frac{\partial u}{\partial x} + f_v \frac{\partial v}{\partial x} + f_w \frac{\partial w}{\partial x},
F_y = f_u \frac{\partial u}{\partial y} + f_v \frac{\partial v}{\partial y} + f_w \frac{\partial w}{\partial y},
F_z = f_u \frac{\partial u}{\partial z} + f_v \frac{\partial v}{\partial z} + f_w \frac{\partial w}{\partial z}.

Passo 4

Agora, dos cálculos parciais:
partial upartial x=1y,;partial upartial y=-xy^2,;partial upartial z=0,
partial vpartial x=0,;partial vpartial y=1z,;partial vpartial z=-yz^2,
partial wpartial x=-zx^2,;partial wpartial y=0,;partial wpartial z=1x

Passo 5

Substituindo em F_x, F_y e F_z e multiplicando por x, y e z, obtemos após simplificação
xF_x = f_u u - f_w w,
yF_y = -f_u u + f_v v,
zF_z = -f_v v + f_w w.

Passo 6

Somando tudo, as parcelas cancelam-se mutuamente, dando zero.

Resposta

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