Seja
. Mostre que
Passo 1
A questão pede para mostrar que se definirmos F(x,y,z)=f\bigl(x/y,,y/z,,z/x\bigr), então x∂F/∂x+y∂F/∂y+z∂F/∂z=0. O conteúdo principal envolve usar a regra da cadeia para derivadas parciais de funções compostas.
Passo 2
Definimos as variáveis auxiliares u=x/y, v=y/z e w=z/x. Precisamos dos parciais de u, v, w em relação a x, y, z. Veja:
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia temos
F_x = f_u \frac{\partial u}{\partial x} + f_v \frac{\partial v}{\partial x} + f_w \frac{\partial w}{\partial x},
F_y = f_u \frac{\partial u}{\partial y} + f_v \frac{\partial v}{\partial y} + f_w \frac{\partial w}{\partial y},
F_z = f_u \frac{\partial u}{\partial z} + f_v \frac{\partial v}{\partial z} + f_w \frac{\partial w}{\partial z}.
F_x = f_u \frac{\partial u}{\partial x} + f_v \frac{\partial v}{\partial x} + f_w \frac{\partial w}{\partial x},
F_y = f_u \frac{\partial u}{\partial y} + f_v \frac{\partial v}{\partial y} + f_w \frac{\partial w}{\partial y},
F_z = f_u \frac{\partial u}{\partial z} + f_v \frac{\partial v}{\partial z} + f_w \frac{\partial w}{\partial z}.
Passo 4
Agora, dos cálculos parciais:
Passo 5
Substituindo em F_x, F_y e F_z e multiplicando por x, y e z, obtemos após simplificação
xF_x = f_u u - f_w w,
yF_y = -f_u u + f_v v,
zF_z = -f_v v + f_w w.
xF_x = f_u u - f_w w,
yF_y = -f_u u + f_v v,
zF_z = -f_v v + f_w w.
Passo 6
Somando tudo, as parcelas cancelam-se mutuamente, dando zero.
Resposta
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