Admita que a Usina Hidrelétrica de Itaipu possua 20 unidades geradoras, com características idênticas. Qual a probabilidade de se encontrar 20 unidades geradoras operando ao mesmo tempo?
Passo 1
O enunciado nos dá que a Usina Hidrelétrica de Itaipu possui
unidades geradoras, todas com características idênticas, e pergunta qual é a probabilidade de se encontrar as
unidades operando ao mesmo tempo.
Informações relevantes extraídas do enunciado: unidades, unidades idênticas.
Pergunta que precisamos responder: qual a probabilidade de que as unidades estejam operando simultaneamente?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Pergunta que precisamos responder: qual a probabilidade de que as
Passo 2
Modelagem do problema e definição das variáveis (a parte teórica mastigada).
- Vamos chamar de
a probabilidade de uma única unidade geradora estar operando (ou seja, “sucesso” = unidade funcionando). Aqui é um número entre e . - Assumimos que o estado de cada unidade é independente das demais (ou seja, o fato de uma estar funcionando não altera a probabilidade das outras funcionarem). Essa é uma hipótese comum em problemas básicos de probabilidade; se na vida real houver dependência (p.ex. falhas em cascata) precisaríamos de outro modelo.
- Com essas hipóteses, cada unidade é um experimento de Bernoulli: tem apenas dois resultados possíveis — operando (com probabilidade
) ou não operando (com probabilidade ).
Passo 3
Contando os modos de ocorrência: a distribuição binomial.
- Se fizermos
ensaios de Bernoulli independentes com probabilidade de sucesso , o número de sucessos segue a distribuição binomial com parâmetros e . A fórmula da probabilidade de exatamente sucessos é
- Aqui
é o coeficiente binomial e conta de quantas maneiras diferentes podemos escolher quais ensaios são os sucessos entre os . A notação lê-se “n escolhe k” e vale
onde
(fatorial) é o produto
.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao caso concreto
e
.
- Queremos a probabilidade de que exatamente as
unidades estejam operando, ou seja, sucessos em ensaios. Substituindo na fórmula binomial:
- Calculando os termos auxiliares:
(só há uma maneira de escolher todas as ), e . Portanto a expressão simplifica para
- Intuição curta: para todas as
unidades estarem funcionando ao mesmo tempo, precisa acontecer o “sucesso” em cada uma das unidades; com independência, multiplicamos as probabilidades (vinte vezes), dando .
Passo 5
Como interpretar e calcular na prática (sem pular etapas).
- Se o enunciado não diz qual é o valor de
, a resposta natural é a fórmula em termos de : . - Se você souber um valor para
(por exemplo, disponibilidade de cada unidade), substitua e calcule. Vou dar exemplos numéricos e mostrar uma forma prática de calcular potência repetida por quadratura (útil na prova sem calculadora, pelo menos para estimativas): - Exemplo 1: se
, então . Podemos calcular por quadratura: , , , . Então . - Exemplo 2: se
, então , , , , e . - Exemplo 3: se
, então e .
- Exemplo 1: se
- Esses exemplos mostram que, mesmo com alta disponibilidade individual, a probabilidade de todas as
unidades simultaneamente pode ficar bem menor à medida que .
Passo 6
Observações finais e encorajamento.
- Resumindo: se cada unidade tiver probabilidade
de estar funcionando e as unidades forem independentes, a probabilidade de que todas as estejam operando ao mesmo tempo é . - Na prova, escreva claramente as hipóteses (definiu-se
e assumiu-se independência) e deduza a expressão usando a regra do produto (multiplicar probabilidades independentes) ou a fórmula da binomial com . Isso mostra que você domina a ideia por trás do cálculo. Você está indo bem — respira, organiza o raciocínio em pequenos passos como fizemos aqui, e manda ver!