Admita que a Usina Hidrelétrica de Itaipu possua 20 unidades geradoras, com características idênticas. Qual a probabilidade de se encontrar 20 unidades geradoras operando ao mesmo tempo?

Passo 1

O enunciado nos dá que a Usina Hidrelétrica de Itaipu possui 20 unidades geradoras, todas com características idênticas, e pergunta qual é a probabilidade de se encontrar as 20 unidades operando ao mesmo tempo.
Informações relevantes extraídas do enunciado: \,20 unidades, unidades idênticas.
Pergunta que precisamos responder: qual a probabilidade de que as 20 unidades estejam operando simultaneamente?

Passo 2

Modelagem do problema e definição das variáveis (a parte teórica mastigada).
  • Vamos chamar de p a probabilidade de uma única unidade geradora estar operando (ou seja, “sucesso” = unidade funcionando). Aqui p é um número entre 0 e 1.
  • Assumimos que o estado de cada unidade é independente das demais (ou seja, o fato de uma estar funcionando não altera a probabilidade das outras funcionarem). Essa é uma hipótese comum em problemas básicos de probabilidade; se na vida real houver dependência (p.ex. falhas em cascata) precisaríamos de outro modelo.
  • Com essas hipóteses, cada unidade é um experimento de Bernoulli: tem apenas dois resultados possíveis — operando (com probabilidade p) ou não operando (com probabilidade 1-p).

Passo 3

Contando os modos de ocorrência: a distribuição binomial.
  • Se fizermos \,n ensaios de Bernoulli independentes com probabilidade de sucesso p, o número X de sucessos segue a distribuição binomial com parâmetros \,n e \,p. A fórmula da probabilidade de exatamente \,k sucessos é
\mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k}.
  • Aqui \binom{n}{k} é o coeficiente binomial e conta de quantas maneiras diferentes podemos escolher quais k ensaios são os sucessos entre os n. A notação \binom{n}{k} lê-se “n escolhe k” e vale
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!},
onde n! (fatorial) é o produto n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao caso concreto n=20 e k=20.
  • Queremos a probabilidade de que exatamente as 20 unidades estejam operando, ou seja, k=20 sucessos em n=20 ensaios. Substituindo na fórmula binomial:
\mathbb{P}(X=20)=\binom{20}{20}\,p^{20}\,(1-p)^{20-20}.
  • Calculando os termos auxiliares: \binom{20}{20}=1 (só há uma maneira de escolher todas as 20), e (1-p)^{0}=1. Portanto a expressão simplifica para
\mathbb{P}(X=20)=p^{20}.
  • Intuição curta: para todas as 20 unidades estarem funcionando ao mesmo tempo, precisa acontecer o “sucesso” em cada uma das 20 unidades; com independência, multiplicamos as probabilidades p\cdot p\cdot\ldots\cdot p (vinte vezes), dando p^{20}.

Passo 5

Como interpretar e calcular na prática (sem pular etapas).
  • Se o enunciado não diz qual é o valor de p, a resposta natural é a fórmula em termos de p: \,p^{20}.
  • Se você souber um valor para p (por exemplo, disponibilidade de cada unidade), substitua e calcule. Vou dar exemplos numéricos e mostrar uma forma prática de calcular potência repetida por quadratura (útil na prova sem calculadora, pelo menos para estimativas):
    • Exemplo 1: se p=0{,}90, então \,p^{20}=(0{,}90)^{20}. Podemos calcular por quadratura: (0{,}90)^{2}=0{,}81, (0{,}90)^{4}=(0{,}81)^{2}=0{,}6561, (0{,}90)^{8}=(0{,}6561)^{2}\approx0{,}430467, (0{,}90)^{16}\approx(0{,}430467)^{2}\approx0{,}1853. Então (0{,}90)^{20}=(0{,}90)^{16}\cdot(0{,}90)^{4}\approx0{,}1853\cdot0{,}6561\approx0{,}1216.
    • Exemplo 2: se p=0{,}98, então (0{,}98)^{2}=0{,}9604, (0{,}98)^{4}\approx0{,}9224, (0{,}98)^{8}\approx0{,}8509, (0{,}98)^{16}\approx0{,}7230, e (0{,}98)^{20}=(0{,}98)^{16}\cdot(0{,}98)^{4}\approx0{,}7230\cdot0{,}9224\approx0{,}667.
    • Exemplo 3: se p=0{,}95, então (0{,}95)^{10}\approx0{,}5987 e (0{,}95)^{20}\approx(0{,}5987)^{2}\approx0{,}3585.
  • Esses exemplos mostram que, mesmo com alta disponibilidade individual, a probabilidade de todas as 20 unidades simultaneamente pode ficar bem menor à medida que p<1.

Passo 6

Observações finais e encorajamento.
  • Resumindo: se cada unidade tiver probabilidade \,p de estar funcionando e as unidades forem independentes, a probabilidade de que todas as \,20 estejam operando ao mesmo tempo é \,p^{20}.
  • Na prova, escreva claramente as hipóteses (definiu-se p e assumiu-se independência) e deduza a expressão usando a regra do produto (multiplicar probabilidades independentes) ou a fórmula da binomial com k=n. Isso mostra que você domina a ideia por trás do cálculo. Você está indo bem — respira, organiza o raciocínio em pequenos passos como fizemos aqui, e manda ver!

Resposta

\,p^{20}

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