Usina Hidrelétrica de Itaipu é a maior fonte individual de produção de energia renovável do mundo. Cada unidade geradora de Itaipu tem capacidade igual a 700 MW (quase o dobro da capacidade instalada de geração do Estado de Roraima). Suponha que, quando chamada a operar, a probabilidade de falha de uma unidade geradora seja de 2 \%, e que estas falhas sejam independentes.
Qual a probabilidade da primeira falha de uma unidade geradora ocorrer na vigésima chamada a operar?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual a probabilidade da primeira falha de uma unidade geradora ocorrer na vigésima chamada a operar?”\n
Informações dadas:
\text{Probabilidade de falha em uma chamada} = 2\% = 0,02
\text{Falhas em chamadas diferentes são independentes.}ã
O que precisamos encontrar: a probabilidade de que não haja falhas nas primeiras dezenove chamadas e que haja falha justamente na vigésima chamada.

Passo 2

Vamos modelar cada chamada como um ensaio com dois resultados: “falha” (com probabilidade \,p\,) e “não falha” (com probabilidade \,q=1-p\,). Definimos:
p = 0,02,\qquad q = 1-p = 0,98.
Para que a primeira falha ocorra exatamente na vigésima chamada, precisamos que as primeiras dezenove chamadas não tenham falha (cada uma com probabilidade \,q\,) e que a vigésima tenha falha (probabilidade \,p\,). Como os ensaios são independentes, a probabilidade conjunta é o produto dessas probabilidades.

Passo 3

A fórmula resultante (a forma padrão para “primeiro sucesso na enésima tentativa”, aqui “sucesso” = falha) é:
\Pr(\text{primeira falha na }k\text{-ésima}) = q^{\,k-1}\,p.é
Substituindo k=20, p=0,02 e q=0,98, obtemos a expressão exata:
\Pr(\text{primeira falha na 20ª}) = (0,98)^{19}\cdot 0,02.ª

Passo 4

Agora vamos calcular (0,98)^{19} passo a passo (multiplicando por 0,98 sucessivamente), para você ver como fazer sem pular etapas:
\begin{aligned} 0,98^1 &= 0,98,\\\\ 0,98^2 &= 0,9604,\\\\ 0,98^3 &= 0,941192,\\\\ 0,98^4 &= 0,92236816,\\\\ 0,98^5 &= 0,9039207968,\\\\ 0,98^6 &= 0,885842380864,\\\\ 0,98^7 &= 0,86812553324672,\\\\ 0,98^8 &= 0,8507630225817856,\\\\ 0,98^9 &= 0,8337477621301498,\\\\ 0,98^{10} &= 0,817072806887,\\\\ 0,98^{11} &= 0,80073135074926,\\\\ 0,98^{12} &= 0,7847167237342748,\\\\ 0,98^{13} &= 0,7690223892595893,\\\\ 0,98^{14} &= 0,7536629414743975,\\\\ 0,98^{15} &= 0,7385896826449096,\\\\ 0,98^{16} &= 0,7238178889920114,\\\\ 0,98^{17} &= 0,7093415312121712,\\\\ 0,98^{18} &= 0,6951547005879278,\\\\ 0,98^{19} &= 0,6812516065761692. \end{aligned}

Passo 5

Multiplicamos agora por p=0,02:
(0,98)^{19}\cdot 0,02 = 0,6812516065761692 \cdot 0,02 = 0,013625032131523384.

Passo 6

Interpretação e forma final: essa probabilidade é cerca de 1,36\%. Ou seja, se cada chamada tem 2\% de chance de falhar e as chamadas são independentes, a chance da primeira falha aparecer exatamente na vigésima chamada é aproximadamente 0,013625.

Resposta

(0,98)^{19}\cdot 0,02 \approx 0,0136250321

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