Em um mês com 30 dias ocorreram 18 inconsistências reportadas em um sistema (todas independentes e raras). Assuma que o número de inconsistências por dia é bem modelado por uma Poisson com média diária
.
Para um dia selecionado aleatoriamente, calcule:
a probabilidade de ocorrer pelo menos duas inconsistência nesse dia;
Para um dia selecionado aleatoriamente, calcule:
a probabilidade de ocorrer pelo menos duas inconsistência nesse dia;
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que, em um dia escolhido aleatoriamente, ocorram pelo menos duas inconsistências. As informações dadas são:
Passo 2
Vamos definir a variável aleatória que usamos: seja
o número de inconsistências observadas em um dia selecionado aleatoriamente. Pelo enunciado
segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
, que representa a média (esperança) do número de ocorrências por intervalo (aqui, por dia). A fórmula da Poisson é:
onde
é um número inteiro não negativo (
),
é a base dos logaritmos naturais, e
é o fatorial de
(por exemplo,
). Aqui
.
Passo 3
Queremos
. Uma forma prática (e padrão) de calcular probabilidades do tipo “pelo menos” com Poisson é usar o complemento:
Isto é útil porque
e
são fáceis de calcular com a fórmula da Poisson.
Passo 4
Calculemos
e
substituindo
na fórmula:
Portanto
Passo 5
Agora precisamos de uma aproximação numérica para
. Podemos usar a série de Taylor de
em
:
Vamos calcular alguns termos para ter boa precisão:
Com esses termos já temos boa aproximação:
Passo 6
Usando essa aproximação em
:
Logo
Arredondando razoavelmente, obtemos
, ou seja, cerca de
.