Em um mês com 30 dias ocorreram 18 inconsistências reportadas em um sistema (todas independentes e raras). Assuma que o número de inconsistências por dia é bem modelado por uma Poisson com média diária \lambda=18 / 30.
Para um dia selecionado aleatoriamente, calcule:
a probabilidade de ocorrer pelo menos duas inconsistência nesse dia;

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que, em um dia escolhido aleatoriamente, ocorram pelo menos duas inconsistências. As informações dadas são:
\begin{aligned} &\text{Total de inconsistências no mês} = 18,\\\ &\text{Número de dias no mês} = 30,\\\ &\text{Média diária} \; \lambda = \dfrac{18}{30},\\\ &\text{o número de inconsistências por dia segue uma Poisson e os eventos são independentes e raros.} \end{aligned}êêúêéáúêã

Passo 2

Vamos definir a variável aleatória que usamos: seja X o número de inconsistências observadas em um dia selecionado aleatoriamente. Pelo enunciado X segue uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda, que representa a média (esperança) do número de ocorrências por intervalo (aqui, por dia). A fórmula da Poisson é:
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde k é um número inteiro não negativo ( k=0,1,2,\dots), e é a base dos logaritmos naturais, e k! é o fatorial de k (por exemplo, 3! = 3\cdot2\cdot1). Aqui \lambda=\dfrac{18}{30}=0,6.

Passo 3

Queremos P(X\ge 2). Uma forma prática (e padrão) de calcular probabilidades do tipo “pelo menos” com Poisson é usar o complemento:
P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1).
Isto é útil porque P(X=0) e P(X=1) são fáceis de calcular com a fórmula da Poisson.

Passo 4

Calculemos P(X=0) e P(X=1) substituindo \lambda=0,6 na fórmula:
P(X=0)=e^{-0,6}\frac{0,6^{0}}{0!}=e^{-0,6}\cdot1,
P(X=1)=e^{-0,6}\frac{0,6^{1}}{1!}=e^{-0,6}\cdot0,6.
Portanto
P(X\ge 2)=1-e^{-0,6}\bigl(1+0,6\bigr)=1-e^{-0,6}\cdot1{,}6.

Passo 5

Agora precisamos de uma aproximação numérica para e^{-0,6}. Podemos usar a série de Taylor de e^{x} em x=-0,6:
e^{-0,6}=1-0,6+\frac{0,6^{2}}{2!}-\frac{0,6^{3}}{3!}+\frac{0,6^{4}}{4!}-\cdots
Vamos calcular alguns termos para ter boa precisão:
\begin{aligned} 1-0,6&=0,4,\\\ \frac{0,6^{2}}{2!}&=\frac{0,36}{2}=0,18\quad\Rightarrow\;0,4+0,18=0,58,\\\\ -\frac{0,6^{3}}{3!}&=-\frac{0,216}{6}=-0,036\quad\Rightarrow\;0,58-0,036=0,544,\\\ \frac{0,6^{4}}{4!}&=\frac{0,1296}{24}\approx0,0054\quad\Rightarrow\;0,544+0,0054=0,5494,\\\\ -\frac{0,6^{5}}{5!}&=-\frac{0,07776}{120}\approx-0,000648\quad\Rightarrow\;0,5494-0,000648\approx0,548752. \end{aligned}
Com esses termos já temos boa aproximação:
e^{-0,6}\approx0,5488.

Passo 6

Usando essa aproximação em P(X\ge 2)=1-e^{-0,6}\cdot1{,}6:
\begin{aligned} e^{-0,6}\cdot1{,}6 &\approx 0,5488\cdot1{,}6 \\\ &=0,5488\cdot(1+0{,}6)=0,5488+0,32928\approx0,87808. \end{aligned}
Logo
P(X\ge 2)\approx 1-0,87808=0,12192.
Arredondando razoavelmente, obtemos P(X\ge 2)\approx0,1219, ou seja, cerca de 12{,}19\%.

Resposta

0,1219

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