Uma companhia aérea tem um avião com 150 assentos. Por política de overbooking, são vendidas 155 passagens. Estudos indicam que cada passageiro tem
de probabilidade de comparecer ao voo, independentemente dos demais. Para um determinado voo (com 155 bilhetes vendidos), qual a probabilidade de que a aeronave voe com um lugar vago, sem deixar passageiro em terra?
Passo 1
O enunciado dá que a companhia vendeu
bilhetes para um avião com
assentos. Cada passageiro comparece ao voo com probabilidade
, independentemente dos demais. A pergunta é: qual a probabilidade de que a aeronave voe com exatamente um lugar vago e, ao mesmo tempo, sem deixar nenhum passageiro em terra?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O evento pedido é “um lugar vago e ninguém ficando em terra” — isto significa que exatamente
passageiros comparecem (pois
assento vago) e, como
bilhetes foram vendidos, então
pessoas não compareceram.
Passo 2
Modelagem probabilística e variável de interesse. Seja
o número de passageiros que comparecem ao voo. Então
porque cada um dos
portadores de bilhete comparece com probabilidade
independentemente. Como vimos no passo anterior, o evento desejado é
.
É conveniente trabalhar com o número de não-comparecimentos
. Defina
então
conta os não-comparecimentos. Como
, temos
onde
é a probabilidade de um passageiro não comparecer. O evento
equivale a
. Portanto queremos calcular
.
Passo 3
Fórmula exata (expressão binomial). A probabilidade exata usando a distribuição binomial é
Aqui
é o coeficiente binomial que conta de quantas maneiras podemos escolher quais
dos
não comparecem. Essa expressão é exata, mas calcular
e as potências diretamente dá números muito grandes/pequenos — é possível, porém trabalhoso sem calculadora.
Passo 4
Escolha do método de cálculo prático. Para
temos
grande e
relativamente pequeno; o valor esperado é
Quando
é grande e
é pequeno (e
moderado), é comum aproximar a binomial por uma distribuição de Poisson com parâmetro
. Essa aproximação é adequada aqui e simplifica muito os cálculos. Vou usar a aproximação de Poisson para obter um valor numérico prático. (Se quiser a expressão exata use a fórmula do Passo 3; a aproximação que vamos obter é muito boa.)
Passo 5
Aplicando a aproximação de Poisson. Se
com
, a probabilidade de
é dada por
Substituindo
:
Passo 6
Cálculos numéricos passo a passo. Primeiro computamos
e
:
Agora o quociente:
O fator exponencial é aproximadamente
Multiplicando:
Passo 7
Interpretação e verificação rápida. Portanto a probabilidade de que exatamente
passageiros não compareçam (ou seja, exatamente
compareçam), que é precisamente o evento “um lugar vago e ninguém em terra”, é aproximadamente
(ou
). Para conferir qualitativamente, uma aproximação normal à binomial (com correção de continuidade) dá resultado muito próximo, o que confirma que a aproximação de Poisson foi adequada aqui.