Uma companhia aérea tem um avião com 150 assentos. Por política de overbooking, são vendidas 155 passagens. Estudos indicam que cada passageiro tem \mathbf{9 6 \%} de probabilidade de comparecer ao voo, independentemente dos demais. Para um determinado voo (com 155 bilhetes vendidos), qual a probabilidade de que a aeronave voe com um lugar vago, sem deixar passageiro em terra?

Passo 1

O enunciado dá que a companhia vendeu 155 bilhetes para um avião com 150 assentos. Cada passageiro comparece ao voo com probabilidade 0,96, independentemente dos demais. A pergunta é: qual a probabilidade de que a aeronave voe com exatamente um lugar vago e, ao mesmo tempo, sem deixar nenhum passageiro em terra?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{número de bilhetes vendidos } = 155,ú
\text{capacidade do avião } = 150,ã
\text{probabilidade de comparecimento de cada passageiro } = 0,96.
O evento pedido é “um lugar vago e ninguém ficando em terra” — isto significa que exatamente 149 passageiros comparecem (pois 150-149=1 assento vago) e, como 155 bilhetes foram vendidos, então 155-149=6 pessoas não compareceram.

Passo 2

Modelagem probabilística e variável de interesse. Seja S o número de passageiros que comparecem ao voo. Então
S \sim \mathrm{Binomial}\bigl(n=155,\\ p=0,96\bigr),
porque cada um dos 155 portadores de bilhete comparece com probabilidade 0,96 independentemente. Como vimos no passo anterior, o evento desejado é \{S=149\}.
É conveniente trabalhar com o número de não-comparecimentos Y. Defina
Y = 155 - S,
então Y conta os não-comparecimentos. Como S\sim\mathrm{Binomial}(155,0,96), temos
Y \sim \mathrm{Binomial}\bigl(n=155,\\ q=0,04\bigr),
onde q=1-0,96=0,04 é a probabilidade de um passageiro não comparecer. O evento S=149 equivale a Y=6. Portanto queremos calcular P(Y=6).

Passo 3

Fórmula exata (expressão binomial). A probabilidade exata usando a distribuição binomial é
P(Y=6)=\binom{155}{6}\,(0,04)^6\,(0,96)^{149}.
Aqui \binom{155}{6} é o coeficiente binomial que conta de quantas maneiras podemos escolher quais 6 dos 155 não comparecem. Essa expressão é exata, mas calcular \binom{155}{6} e as potências diretamente dá números muito grandes/pequenos — é possível, porém trabalhoso sem calculadora.

Passo 4

Escolha do método de cálculo prático. Para Y\sim\mathrm{Binomial}(155,0,04) temos n grande e q=0,04 relativamente pequeno; o valor esperado é
\lambda = \mathbb{E}[Y]=nq=155\cdot 0,04=6,2.
Quando n é grande e q é pequeno (e nq moderado), é comum aproximar a binomial por uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda=nq. Essa aproximação é adequada aqui e simplifica muito os cálculos. Vou usar a aproximação de Poisson para obter um valor numérico prático. (Se quiser a expressão exata use a fórmula do Passo 3; a aproximação que vamos obter é muito boa.)

Passo 5

Aplicando a aproximação de Poisson. Se Y\approx\mathrm{Poisson}(\lambda) com \lambda=6,2, a probabilidade de Y=6 é dada por
P(Y=6)\approx e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^6}{6!}.
Substituindo \lambda=6,2:
P(Y=6)\approx e^{-6,2}\,\frac{6,2^6}{6!}.

Passo 6

Cálculos numéricos passo a passo. Primeiro computamos 6! e 6,2^6:
6! = 720,
6,2^2 = 38,44,\quad 6,2^3 = 238,328,\quad 6,2^4 = 1\,477,6336,
6,2^5 = 9\,161,32832,\quad 6,2^6 = 56\,800,235584.
Agora o quociente:
\frac{6,2^6}{6!} \approx \frac{56\,800,235584}{720} \approx 78,889.
O fator exponencial é aproximadamente
e^{-6,2}\approx 0,0020281.
Multiplicando:
P(Y=6)\approx 0,0020281\times 78,889 \approx 0,1600.

Passo 7

Interpretação e verificação rápida. Portanto a probabilidade de que exatamente 6 passageiros não compareçam (ou seja, exatamente 149 compareçam), que é precisamente o evento “um lugar vago e ninguém em terra”, é aproximadamente 0,160 (ou 16,0\%). Para conferir qualitativamente, uma aproximação normal à binomial (com correção de continuidade) dá resultado muito próximo, o que confirma que a aproximação de Poisson foi adequada aqui.

Resposta

0,1600

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