Admita que a variável aleatória X, que indica o comprimento do eixo de carros populares fabricados por uma montadora, segue uma distribuição normal com desvio padrão igual a 9 centímetros. Uma amostra aleatória de 15 eixos forneceu comprimento médio igual a 170 centímetros. Construa e interprete um intervalo de confiança para o comprimento médio dos eixos dos carros populares fabricados pela montadora, com coeficiente de confiança igual a \gamma=99 \%.

Passo 1

O enunciado diz que o comprimento do eixo, X, segue uma normal com desvio padrão conhecido \sigma=9 cm. Temos uma amostra de tamanho n=15 cujo valor médio amostral é \bar x=170 cm. Queremos um intervalo de confiança de 99\% para a média verdadeira \mu.

Passo 2

Para nível de confiança \gamma=99\% definimos \alpha = 1-\gamma = 0,01 e \alpha/2 = 0,005. Como \sigma é conhecido, usamos a distribuição normal padrão e o quantil
z_{1-\alpha/2} \;=\; z_{0,995}\;\approx\;2{,}5758.

Passo 3

O erro máximo \displaystyle E do intervalo é
E \;=\; z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \;=\;2{,}5758\;\frac{9}{\sqrt{15}} \;\approx\;5{,}98\text{ cm}.
Assim, os limites do intervalo são
\bar x \pm E \;\Longrightarrow\; 170 \pm 5{,}98 \;\Longrightarrow\; \bigl(170 - 5{,}98,\;170 + 5{,}98\bigr) \;\approx\;(164{,}02,\;175{,}98).

Passo 4

Isso significa que, com 99\% de confiança, a verdadeira média dos comprimentos dos eixos fabricados pela montadora está entre aproximadamente 164{,}02 cm e 175{,}98 cm.

Resposta

\bigl(164{,}02\text{ cm},\,175{,}98\text{ cm}\bigr)

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