Qual deverá ser o tamanho de uma amostra retirada de uma população X \sim N(200,350) para que P(|\bar{X}-200|<5)=0,95 ?

Passo 1

O enunciado pede o tamanho da amostra n de uma população X\sim N(200,350) (onde 350 é a variância) tal que
P\bigl(|\bar X - 200| < 5\bigr) = 0,95.
O conteúdo que vamos usar é a distribuição da média amostral de uma população normal e as propriedades do desvio‐padrão da média.

Passo 2

Como X é normal, para qualquer n a média amostral \bar X tem distribuição
\bar X \sim N\!\Bigl(200,\;\frac{350}{n}\Bigr),
isto é, \mathrm{Var}(\bar X)=350/n e desvio‐padrão \sigma_{\bar X}=\sqrt{350/n}. Portanto
P\bigl(|\bar X-200|<5\bigr) = P\!\Bigl(\bigl|\tfrac{\bar X-200}{\sigma_{\bar X}}\bigr|<\tfrac{5}{\sqrt{350/n}}\Bigr) =2\,\Phi\!\Bigl(\tfrac{5}{\sqrt{350/n}}\Bigr)-1.

Passo 3

Queremos 2\,\Phi\bigl(5/\sqrt{350/n}\bigr)-1=0,95. Logo
\Phi\!\Bigl(\tfrac{5}{\sqrt{350/n}}\Bigr)=0,975 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{5}{\sqrt{350/n}}=1,96,
onde 1,96 é o quantil z_{0,975} da normal padrão. De 5 = 1,96\,\sqrt{350/n} segue
\sqrt{\frac{350}{n}} =\frac{5}{1,96} \quad\Longrightarrow\quad n =\Bigl(\tfrac{1,96\,\sqrt{350}}{5}\Bigr)^{2}.

Passo 4

Calculando numericamente:
\sqrt{350}\approx18,708,\quad 1,96\cdot18,708\approx36,666,\quad \frac{36,666}{5}\approx7,333,
n \approx7,333^{2} \approx53,78.
Como n precisa ser inteiro e garantir a cobertura mínima, arredondamos para cima:

Resposta

n=54

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