Algumas empresas monitoram a qualidade usando um método de amostragem de aceitação, onde um lote inteiro de itens é rejeitado se uma amostra aleatória de determinado tamanho inclui mais que um número especificado de defeituosos. A Companhia de Máquinas Dayton compra parafusos em lotes de 5000 e rejeita um lote se dois ou mais parafusos defeituosos são encontrados quando 50 deles são selecionados. Estime a probabilidade de se rejeitar um lote se o fornecedor está produzindo os parafusos com uma taxa de defeito de 10 \%.

Passo 1

O enunciado descreve um plano de amostragem em que uma população de tamanho N=5000 contém uma fração p=0,1 de itens defeituosos. Selecionamos uma amostra de tamanho n=50 sem reposição e rejeitamos o lote se encontrarmos 2 ou mais defeituosos. Precisamos estimar
a probabilidade de rejeição quando de fato p=0,1.

Passo 2

Como N é grande e n relativamente pequeno, podemos aproximar a distribuição hipergeométrica por uma binomial com parâmetros n=50 e p=0,1. Sejam X o número de defeituosos na amostra, então
X\sim \mathrm{Bin}\bigl(n=50,\;p=0,1\bigr)
e
P(\text{rejeitar})=P(X\ge2)=1-\bigl[P(X=0)+P(X=1)\bigr].

Passo 3

Usamos as fórmulas da binomial:
P(X=0)=(1-p)^{50}=(0,9)^{50},
P(X=1)=\binom{50}{1}p(1-p)^{49}=50\cdot0,1\cdot(0,9)^{49}.

Passo 4

Calculando numericamente:
(0,9)^{50}\approx0,00515, \qquad 50\cdot0,1\cdot(0,9)^{49}\approx0,0286.
Logo a probabilidade de aceitação é
P(X\le1)\approx0,00515+0,0286=0,03375
e a de rejeição
P(\text{rejeitar})=1-0,03375\approx0,96625.

Resposta

A probabilidade de rejeitar o lote é aproximadamente 0,9663.

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