Numa pesquisa de mercado, 400 pessoas foram entrevistadas sobre preferência de marcas de determinado produto de limpeza, e 60 % delas preferiram a marca A, dentre todas as disponíveis no mercado. Construa um intervalo de confiança para a proporção de pessoas que não preferem a Marca A deste produto, com nível de confiança de 0,95 . Interprete o intervalo obtido.

Passo 1

O enunciado traz uma amostra de tamanho n=400 em que 60\% dos entrevistados ­– ou seja, \hat{p}=0,6 – preferem a marca A. Queremos construir um intervalo de confiança de 95\% para a proporção de pessoas que não preferem a marca A. Para isso, vamos usar a aproximação normal ao binomial e seguir as etapas de estimador pontual, erro padrão, valor crítico e margem de erro.

Passo 2

Calcular o estimador pontual \hat{q} da proporção de não preferem A:
\hat{q} \;=\; 1 - \hat{p} \;=\; 1 - 0,6 \;=\; 0,4.

Passo 3

Calcular o erro padrão de \hat{q}:
SE_{\hat{q}} = \sqrt{\frac{\hat{q}\,(1-\hat{q})}{n}} = \sqrt{\frac{0,4 \times 0,6}{400}} = \sqrt{0,0006} \approx 0,0245.

Passo 4

Determinar o valor crítico para nível de confiança de 95\%: z_{0{,}025}=1,96.
Calcular a margem de erro E:
E = z_{0{,}025} \times SE_{\hat{q}} = 1,96 \times 0,0245 \approx 0,0480.

Passo 5

Construir o intervalo de confiança:
\hat{q} \pm E = 0,4 \pm 0,048 \quad\Longrightarrow\quad [0,352,\;0,448].

Resposta

O intervalo de confiança de 95\% para a proporção de pessoas que não preferem a marca A é [0,352;0,448]. Isso significa que estamos 95\% confiantes de que, na população, entre 35{,}2\% e 44{,}8\% dos consumidores não preferem a marca A.

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