Uma empresa de eletrônicos produz baterias de lítio para smartphones. A empresa afirma que a vida útil média dessas baterias é de 1000 ciclos de carga completa. Um engenheiro elétrico deseja verificar se essa afirmação é verdadeira. Para isso, ele coleta uma amostra aleatória de 25 baterias e as testa até que falhem. A média da vida útil das baterias da amostra foi de 980 ciclos, e o desvio padrão populacional é conhecido e igual a 50 ciclos. Supondo que a amostra é proveniente de uma população normal e considerando um nível de significância de 5 \%, faça o que se pede em cada item abaixo:
(a) Formule as hipóteses nula e alternativa para este teste.
(b) Fixado o nível de significância, construa a região crítica do teste.
(c) Calcule o valor da estatística de teste.
(d) Tome uma decisão sobre as hipóteses e interprete o resultado no contexto do problema, usando a região crítica do teste e o valor da estatística de teste.
(e) Calcule o p-valor do teste.
(f) Tome uma decisão sobre as hipóteses e interprete o resultado no contexto do problema usando o p-valor.

Passo 1

O enunciado apresenta uma amostra de n=25 baterias, com média \bar X=980 ciclos, desvio padrão populacional conhecido \sigma=50, assumindo normalidade. Queremos testar, com nível de significância \alpha=0,05, se a vida média das baterias difere da afirmada 1000 ciclos. Trata-se de um teste de hipóteses para a média com variância conhecida, usando a estatística Z.

Passo 2

As hipóteses são
H_0: \mu = 1000,
H_1: \mu \neq 1000.

Passo 3

Para \alpha=0,05 e teste bilateral, os quantis críticos de Z são \pm z_{0,025}. Como
z_{0,025} = 1,96,
a região crítica é
\{|Z|>1,96\}.

Passo 4

A estatística de teste é
Z = \frac{\bar X - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{980 - 1000}{50/\sqrt{25}} = \frac{-20}{10} = -2.

Passo 5

Como |Z|=2 > 1,96, rejeitamos H_0. Concluímos que há evidência significativa de que a vida média das baterias difere de 1000 ciclos; no caso, observa-se que está abaixo do valor informado.
O p-valor é
p\text{-valor} = 2P(Z\le -2) = 2\cdot0,0228 = 0,0456.

Passo 6

Como p\text{-valor}=0,0456 < \alpha=0,05, rejeitamos H_0 e interpretamos que, ao nível de 5%, a vida média das baterias é significativamente diferente de 1000 ciclos (inferior, dado \bar X=980).

Resposta

(a) H_0: \mu = 1000; H_1: \mu \neq 1000.
(b) Região crítica: \{|Z|>1,96\}.
(c) Z = -2.
(d) Rejeita-se H_0 pois |Z|=2>1,96, indicando vida média diferente (inferior) a 1000 ciclos.
(e) p-valor =0,0456.
(f) Como p-valor < 0,05, rejeita-se H_0, confirmando evidência de vida média inferior a 1000 ciclos.

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