Sendo X \sim U[0,4], calcule
P(1<X<2)

Passo 1

O enunciado dá que X é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [0,4], isto é X \sim U[0,4]. A pergunta é: calcular P(1<X<2).
Informações relevantes fornecidas:
  • O suporte (intervalo onde X pode ocorrer) é [0,4].
  • A distribuição é uniforme: probabilidade é “espalhada” igualmente por todo o intervalo [0,4].
  • Precisamos da probabilidade de X cair no intervalo (1,2).

Passo 2

O que significa “uniforme” e como calcular probabilidades nisso?
Definição prática: para uma variável contínua X com distribuição uniforme em [a,b], a densidade de probabilidade f(x) é constante sobre [a,b] e igual a
f(x)=\frac{1}{b-a}\quad\text{para }x\in[a,b],
e f(x)=0 fora de [a,b].
Explicação das letras:
  • a é o limite inferior do intervalo,
  • b é o limite superior,
  • b-a é o comprimento total do intervalo,
  • f(x) é a densidade — como a probabilidade está distribuída por unidade de comprimento.
Intuição simples (muito útil em prova): a probabilidade de X cair em um subintervalo [c,d]\subset[a,b] é a razão entre o comprimento do subintervalo e o comprimento total:
P(c<X<d)=\frac{d-c}{b-a}.
Isso decorre de integrar a densidade constante sobre [c,d].

Passo 3

Aplique isso ao nosso caso. Aqui a=0 e b=4. Logo a densidade é
f(x)=\frac{1}{4-0}=\frac{1}{4}\quad\text{para }x\in[0,4].
Verificação rápida (pra ficar tranquilo): a integral da densidade sobre todo o suporte deve dar 1:
\int_{0}^{4} f(x)\,dx=\int_{0}^{4}\frac{1}{4}\,dx=\frac{1}{4}\cdot(4-0)=1.

Passo 4

Calcule agora P(1<X<2) pela definição (integral da densidade no intervalo pedido). Como f(x)=\tfrac{1}{4} constante, temos
P(1<X<2)=\int_{1}^{2} f(x)\,dx=\int_{1}^{2}\frac{1}{4}\,dx=\frac{1}{4}\cdot(2-1)=\frac{1}{4}.
Explicação alternativa rápida (atalho para prova): o comprimento do intervalo (1,2) é 2-1=1. O comprimento total é 4. Então a probabilidade é 1/4. Esse atalho é 100% válido para uniformes em provas — memoriza que é “comprimento do alvo dividido pelo comprimento total”.

Passo 5

Conversão para decimal e comentário final:
\frac{1}{4}=0,25.
Dica de prova: quando vir U[a,b] e pedirem P(c<X<d), calcule direto \dfrac{d-c}{b-a}. É rápido, evita cálculo desnecessário e funciona sempre.

Resposta

\frac{1}{4}

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