f=x^4+3 x^3-3 x^2-11 x-6 admite a raiz -1 com multiplicidade 2 e que outra de suas raízes é igual ao módulo de um número complexo z cuja parte imaginária é igual a -1. A forma trigonométrica de z pode ser igual a
a) 2 cdot(cos 11 pi6+i cdot sen 11 pi6)
b) 2 cdot(cos 5 pi6+i cdot sen 5 pi6)
c) 2 cdot(cos 5 pi3+i cdot sen 5 pi3)
d) 2 cdot(cos 4 pi3+i cdot sen 4 pi3)
e) 2 cdot(cos 7 pi4+i cdot sen 7 pi4)

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
f(x)=x^4+3x^3-3x^2-11x-6
e informa que -1 é raiz dupla. Outra raiz é igual a lvert zrvert, onde Im(z)=-1. Nosso plano:
  1. Encontrar as raízes de f(x).
  2. Identificar a raiz não negativa que será lvert zrvert.
  3. Usar lvert zrvert=2 e Im(z)=-1 para determinar o argumento de z.
  4. Escolher a forma trigonométrica correta entre as opções.

Passo 2

Fatoramos f(x) dividindo por (x+1)^2. A divisão sintética por -1 duas vezes dá como quociente
x^2+x-6
Logo
f(x)=(x+1)^2(x^2+x-6)=(x+1)^2(x+3)(x-2)
As raízes são -1 (dupla), -3 e 2.

Passo 3

A raiz não negativa é 2. Portanto
lvert zrvert=2

Passo 4

Na forma trigonométrica temos
z=2l(costheta+isinthetar),
com Im(z)=2sintheta=-1, logo
sintheta=-tfrac12
Além disso costheta=pmraiz1-sin^2theta=pmtfracraiz32

Passo 5

Os ângulos em [0,2pi) que satisfazem sintheta=-tfrac12 são
theta=7pi6outheta=11pi6
Dessas, só theta=tfrac11pi6 aparece nas opções.

Resposta

a) 2l(costfrac11pi6+icdotsentfrac11pi6r)

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