p(x)=x^n+x^n-1+ldots+x^2+x+1, onde n é um número par positivo. Então é correto afirmar que:
a) O polinômio p(x) possui sempre uma raiz real.
b) O polinômio p(x) possui raízes reais não racionais.
c) O polinômio p(x) possui uma quantidade ímpar de raízes complexas distintas.
d) O polinômio p(x) não possui raízes reais.
e) O polinômio p(x) possui raízes racionais não inteiras.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x)=x^n+x^n-1+cdots+x+1
com n par e pede, entre as alternativas, a correta sobre as raízes de p.
Conteúdo: soma de progressão geométrica e localização das raízes (raízes da unidade).

Passo 2

Reescrevemos p(x) usando a soma de uma progressão geométrica de razão x e n+1 termos:
p(x)=1+x+cdots+x^n=x^,n+1-1x-1, xneq1

Passo 3

As raízes de p(x) são as soluções de
x^,n+1-1=0
exceto x=1. Logo as raízes são
xk=e^2pi i k/(n+1), k=1,2,dots,n

Passo 4

Para xk ser real e satisfazer xk^,n+1=1, precisaríamos de xk=1 ou xk=-1. Mas como n é par, n+1 é ímpar, logo
(-1)^,n+1=-1neq1,
portanto -1 não é raiz, e 1 foi excluído da divisão. Concluímos que não há raízes reais em x1,dots,xn.

Resposta

d) O polinômio p(x) não possui raízes reais.

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