, onde
é um número par positivo. Então é correto afirmar que:
a) O polinômio
possui sempre uma raiz real.
b) O polinômio
possui raízes reais não racionais.
c) O polinômio
possui uma quantidade ímpar de raízes complexas distintas.
d) O polinômio
não possui raízes reais.
e) O polinômio
possui raízes racionais não inteiras.
a) O polinômio
b) O polinômio
c) O polinômio
d) O polinômio
e) O polinômio
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
com par e pede, entre as alternativas, a correta sobre as raízes de
.
Conteúdo: soma de progressão geométrica e localização das raízes (raízes da unidade).
com
Conteúdo: soma de progressão geométrica e localização das raízes (raízes da unidade).
Passo 2
Reescrevemos
usando a soma de uma progressão geométrica de razão
e
termos:
Passo 3
As raízes de
são as soluções de
exceto
. Logo as raízes são
Passo 4
Para
ser real e satisfazer
, precisaríamos de
ou
. Mas como
é par,
é ímpar, logo
portanto
não é raiz, e
foi excluído da divisão. Concluímos que não há raízes reais em
.
Resposta
d) O polinômio
não possui raízes reais.