P(x)=x^3+(k-1) x^2+(k+3) x+5 é divisível por (x-1); logo, a soma das raízes de P(x+2) é
a) -2
b) -1
c) 1
d) 2
e) 3

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio
P(x)=x^3+(k-1)x^2+(k+3)x+5
que é divisível por (x-1), isto é, P(1)=0. Depois, pedem a soma das raízes de P(x+2). Vamos usar a condição de divisibilidade para achar k, o Teorema de Vietà para a soma das raízes de P e o efeito da mudança de variável xmapsto x+2.

Passo 2

Impondo P(1)=0 temos
P(1)=1+(k-1)+(k+3)+5=2k+8=0
Logo
k=-4

Passo 3

Para o polinômio P(x) monico de grau 3, se suas raízes são y1,y2,y3, o Teorema de Vietà diz
y1+y2+y3=-l(coeficiente de x^2r)=-l(k-1r)=-k+1
Substituindo k=-4,
y1+y2+y3=-(-4)+1=5

Passo 4

As raízes de P(x+2) são os valores x tais que x+2 é raiz de P. Logo se yi são as raízes de P, as raízes de P(x+2) são xi=yi-2. Portanto
sumi=1^3xi=sumi=1^3(yi-2)=l(y1+y2+y3r)-3cdot2=5-6=-1

Resposta

b) -1

Exercícios relacionados