Calcule z1 z2 e z1z2, sabendo que:
z1=2 cdot(cos pi8+i sen pi8), z2=4 e^i 3 pi8

Passo 1

O problema pede o produto z1z2 e o quociente tfracz1z2 de dois números complexos dados em forma trigonométrica/polar. Para isso vamos usar as propriedades:
  • Módulo do produto é o produto dos módulos e argumento do produto é a soma dos argumentos.
  • Módulo do quociente é a razão dos módulos e argumento do quociente é a diferença dos argumentos.

Passo 2

Escrevendo ambos em forma cos+!isin:
z1=2l[cosl(tfracpi8r)+isinl(tfracpi8r)r], z2=4l[cosl(tfrac3pi8r)+isinl(tfrac3pi8r)r]
Aplicando a fórmula do produto em coordenadas polares:
z1z2 =2cdot4l[cosl(tfracpi8+tfrac3pi8r) +isinl(tfracpi8+tfrac3pi8r)r] =8l[cosl(tfracpi2r)+isinl(tfracpi2r)r]

Passo 3

Como cos(tfracpi2)=0 e sin(tfracpi2)=1, segue
z1z2=8,i

Passo 4

Para o quociente, usamos
z1z2 =24l[cosl(tfracpi8-tfrac3pi8r) +isinl(tfracpi8-tfrac3pi8r)r] =tfrac12l[cosl(-tfracpi4r)+isinl(-tfracpi4r)r]

Passo 5

Como cos(-tfracpi4)=tfracraiz22 e sin(-tfracpi4)=-tfracraiz22, temos
z1z2 =tfrac12l(tfracraiz22-itfracraiz22r) =raiz24-i,raiz24

Resposta

z1z2=8,i, z1z2=raiz24-i,raiz24

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