Admitimos que em um lote de 800 motores, 200 apresentem um determinado defeito. Ao coletarmos uma amostra de 50 motores sem reposição, qual é a probabilidade de que a mesma apresente menos de 10 motores com defeito?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma probabilidade:
  • Há um lote com N=800 motores, dos quais K=200 têm o defeito (ou seja, 200 defeituosos e 600 bons).
  • Retiramos uma amostra de n=50 motores sem reposição.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que a amostra contenha menos de 10 motores com defeito? Em termos probabilísticos, queremos calcular
\mathbb{P}(X<10)=\mathbb{P}(X\le9),
onde X é o número de motores defeituosos na amostra de 50.

Passo 2

Que distribuição descreve X?
Quando se amostra sem reposição de uma população finita com N itens, K de interesse (defeituosos) e N-K sem interesse (bons), o número de sucessos X na amostra de tamanho n segue a distribuição hipergeométrica. Vou apresentar a fórmula dessa distribuição e explicar o porquê dela.
Fórmula da probabilidade hipergeométrica (aula curta):
  • A ideia combinatória: para que haja exatamente k defeituosos na amostra, escolhemos k dos K defeituosos e escolhemos os outros n-k da turma dos N-K bons. O número de maneiras de fazer isso é \binom{K}{k}\binom{N-K}{\,n-k\,}.
  • O número total de amostras possíveis de tamanho n é \binom{N}{n}.
    Portanto, a probabilidade exata de X=k é
\mathbb{P}(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{\,n-k\,}}{\binom{N}{n}}.

Passo 3

Escrevendo o pedido com a fórmula hipergeométrica:
\mathbb{P}(X<10)=\sum_{k=0}^{9}\mathbb{P}(X=k) =\sum_{k=0}^{9}\frac{\binom{200}{k}\binom{600}{50-k}}{\binom{800}{50}}.
Isto é a expressão exata. Cada termo é obtido aplicando a explicação combinatória do passo anterior.

Passo 4

Por que não calcular isso exatamente à mão?
Os coeficientes combinatórios \binom{800}{50} etc. são números gigantescos; calcular a soma dos termos exatamente sem auxílio de software ou calculadora poderosa é impraticável num exame sem máquina. Por isso, é comum usar aproximações justificadas:
  • Aproximação binomial: quando a amostra é pequena em relação à população ( n/N pequeno), a hipergeométrica se aproxima bem por uma binomial com parâmetro p=K/N. Aqui n/N=50/800=0,0625, que é pequeno, logo a aproximação binomial é razoável.
  • Aproximação normal à binomial/hipergeométrica: para somas acumuladas, costuma-se usar a aproximação normal com correção de continuidade, que dá um valor numérico rápido e suficientemente preciso para fins de prova, desde que se justifique.
Também vale notar a diferença na variância: a hipergeométrica tem fator de correção finita que reduz a variância relativa à binomial. Vou calcular a média e variância hipergeométrica e usar a aproximação normal com essa variância (é a aproximação mais fiel).

Passo 5

Calcular média e variância da hipergeométrica (passo-a-passo e explicação didática):
  • Para a hipergeométrica, a média é
\mathbb{E}[X]=n\frac{K}{N}.
Isso faz sentido: é o tamanho da amostra vezes a proporção de defeituosos na população. Aqui:
\mathbb{E}[X]=50\cdot\frac{200}{800}=50\cdot 0{,}25=12{,}5.
  • A variância da hipergeométrica é
\operatorname{Var}(X)=n\frac{K}{N}\left(1-\frac{K}{N}\right)\frac{N-n}{N-1}.
Explicação: n\frac{K}{N}\left(1-\frac{K}{N}\right) é a variância que teríamos na binomial \operatorname{Bin}(n,p) com p=K/N; o fator \dfrac{N-n}{N-1} é a correção por amostragem sem reposição (chamado fator de correção finita), que reduz a variância porque as observações não são independentes.
Agora calculemos numericamente passo a passo:
  • Primeiro p=\dfrac{K}{N}=\dfrac{200}{800}=0{,}25.
  • Binomial-style variance: n p(1-p)=50\cdot0{,}25\cdot0{,}75.
50\cdot0{,}25=12{,}5,\qquad 12{,}5\cdot0{,}75=9{,}375.
  • Fator de correção finita:
\frac{N-n}{N-1}=\frac{800-50}{800-1}=\frac{750}{799}\approx0{,}938673.
  • Portanto a variância hipergeométrica é
\operatorname{Var}(X)=9{,}375\cdot\frac{750}{799}\approx9{,}375\cdot0{,}938673\approx8{,}799.
  • Desvio-padrão:
\sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}\approx\sqrt{8{,}799}\approx2{,}966.
Resumo numérico: \mathbb{E}[X]=12{,}5 e \sigma\approx2{,}966.

Passo 6

Aplicar a aproximação normal (com correção de continuidade) para estimar \mathbb{P}(X\le9).
  • A ideia: aproximar X por uma normal \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) com \mu=12{,}5 e \sigma\approx2{,}966. Para uma probabilidade discreta acumulada até 9 usamos a correção de continuidade e calculamos
\mathbb{P}(X\le9)\approx \mathbb{P}\Big(Z\le\frac{9{,}5-\mu}{\sigma}\Big),
onde Z é padrão normal Z\sim\mathcal{N}(0,1) e usamos 9{,}5 (limite superior com correção de continuidade).
  • Calcule o z-score:
z=\frac{9{,}5-12{,}5}{2{,}966}=\frac{-3}{2{,}966}\approx-1{,}011.
  • Agora consultando a tabela da normal padrão ou usando resultados conhecidos, \Phi(-1{,}011)\approx0{,}156 (onde \Phi é a CDF padrão normal).
    Portanto a aproximação pela hipergeométrica-normal dá
\mathbb{P}(X<10)\approx0{,}156.

Passo 7

Verificação rápida e interpretação (conforto para prova):
  • Se ignorássemos o fator de correção finita e usássemos a binomial \operatorname{Bin}(50,0{,}25) com \sigma=\sqrt{9{,}375}\approx3{,}062, repetir os passos daria z\approx(9{,}5-12{,}5)/3{,}062\approx-0{,}980 e \Phi(-0{,}980)\approx0{,}163. Ou seja, a correção finita só reduz ligeiramente a probabilidade acumulada de 0{,}163 para cerca de 0{,}156. Isso mostra que a aproximação usada é consistente e a diferença não é grande aqui.
  • Se no exame for permitida uma calculadora estatística, o ideal é calcular a soma exata hipergeométrica do Passo 3. Se não for permitida, explique e justifique a aproximação como fiz aqui (muito comum e aceita em provas).

Passo 8

Mensagem final de incentivo e dica prática para a prova:
  • Apresente a expressão exata da hipergeométrica (Passo 3) e, se pedir um valor numérico sem calculadora, use a aproximação normal com correção de continuidade e o cálculo da média/variância hipergeométrica (Passos 5–6).
  • Confie no raciocínio: média 12{,}5 e desvio \approx2{,}97 indicam que “menos de 10” está cerca de 1 desvio-padrão abaixo da média, então uma probabilidade da ordem de 0,15 0,17 é perfeitamente plausível.

Resposta

\displaystyle \mathbb{P}(X<10)=\sum_{k=0}^{9}\frac{\binom{200}{k}\binom{600}{50-k}}{\binom{800}{50}}\approx0{,}156

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