Admitimos que em um lote de 800 motores, 200 apresentem um determinado defeito. Ao coletarmos uma amostra de 50 motores sem reposição, qual é a probabilidade de que a mesma apresente menos de 10 motores com defeito?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma probabilidade:
- Há um lote com
motores, dos quais têm o defeito (ou seja, defeituosos e bons). - Retiramos uma amostra de
motores sem reposição. - Pergunta: qual é a probabilidade de que a amostra contenha menos de
motores com defeito? Em termos probabilísticos, queremos calcular
onde
é o número de motores defeituosos na amostra de
.
Passo 2
Que distribuição descreve
?
Quando se amostra sem reposição de uma população finita com itens,
de interesse (defeituosos) e
sem interesse (bons), o número de sucessos
na amostra de tamanho
segue a distribuição hipergeométrica. Vou apresentar a fórmula dessa distribuição e explicar o porquê dela.
Quando se amostra sem reposição de uma população finita com
Fórmula da probabilidade hipergeométrica (aula curta):
- A ideia combinatória: para que haja exatamente
defeituosos na amostra, escolhemos dos defeituosos e escolhemos os outros da turma dos bons. O número de maneiras de fazer isso é . - O número total de amostras possíveis de tamanho
é .
Portanto, a probabilidade exata deé
Passo 3
Escrevendo o pedido com a fórmula hipergeométrica:
Isto é a expressão exata. Cada termo é obtido aplicando a explicação combinatória do passo anterior.
Passo 4
Por que não calcular isso exatamente à mão?
Os coeficientes combinatórios etc. são números gigantescos; calcular a soma dos termos exatamente sem auxílio de software ou calculadora poderosa é impraticável num exame sem máquina. Por isso, é comum usar aproximações justificadas:
Os coeficientes combinatórios
- Aproximação binomial: quando a amostra é pequena em relação à população (
pequeno), a hipergeométrica se aproxima bem por uma binomial com parâmetro . Aqui , que é pequeno, logo a aproximação binomial é razoável. - Aproximação normal à binomial/hipergeométrica: para somas acumuladas, costuma-se usar a aproximação normal com correção de continuidade, que dá um valor numérico rápido e suficientemente preciso para fins de prova, desde que se justifique.
Também vale notar a diferença na variância: a hipergeométrica tem fator de correção finita que reduz a variância relativa à binomial. Vou calcular a média e variância hipergeométrica e usar a aproximação normal com essa variância (é a aproximação mais fiel).
Passo 5
Calcular média e variância da hipergeométrica (passo-a-passo e explicação didática):
- Para a hipergeométrica, a média é
Isso faz sentido: é o tamanho da amostra vezes a proporção de defeituosos na população. Aqui:
- A variância da hipergeométrica é
Explicação:
é a variância que teríamos na binomial
com
; o fator
é a correção por amostragem sem reposição (chamado fator de correção finita), que reduz a variância porque as observações não são independentes.
Agora calculemos numericamente passo a passo:
- Primeiro
. - Binomial-style variance:
.
- Fator de correção finita:
- Portanto a variância hipergeométrica é
- Desvio-padrão:
Resumo numérico:
e
.
Passo 6
Aplicar a aproximação normal (com correção de continuidade) para estimar
.
- A ideia: aproximar
por uma normal com e . Para uma probabilidade discreta acumulada até usamos a correção de continuidade e calculamos
onde
é padrão normal
e usamos
(limite superior com correção de continuidade).
- Calcule o
-score:
- Agora consultando a tabela da normal padrão ou usando resultados conhecidos,
(onde é a CDF padrão normal).
Portanto a aproximação pela hipergeométrica-normal dá
Passo 7
Verificação rápida e interpretação (conforto para prova):
- Se ignorássemos o fator de correção finita e usássemos a binomial
com , repetir os passos daria e . Ou seja, a correção finita só reduz ligeiramente a probabilidade acumulada de para cerca de . Isso mostra que a aproximação usada é consistente e a diferença não é grande aqui. - Se no exame for permitida uma calculadora estatística, o ideal é calcular a soma exata hipergeométrica do Passo 3. Se não for permitida, explique e justifique a aproximação como fiz aqui (muito comum e aceita em provas).
Passo 8
Mensagem final de incentivo e dica prática para a prova:
- Apresente a expressão exata da hipergeométrica (Passo 3) e, se pedir um valor numérico sem calculadora, use a aproximação normal com correção de continuidade e o cálculo da média/variância hipergeométrica (Passos 5–6).
- Confie no raciocínio: média
e desvio indicam que “menos de 10” está cerca de 1 desvio-padrão abaixo da média, então uma probabilidade da ordem de – é perfeitamente plausível.