Suponha que têm-se 2 processos ( A e B ) para produzir um artigo, e que o tempo médio de produção para o processo A é de 300 horas e desvio-padrão é de 16 horas, enquanto que para o processo B , o tempo médio é de 306 horas e o desvio-padrão é de 12 horas. Sorteia-se uma amostra aleatória de 64 artigos produzidos com processo A e 49 produzidos com o processo B. Calcular a probabilidade de que:
A diferença de médias amostrais seja superior a 2 horas.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados do processo A:
    • média populacional \mu_A = 300 (horas)
    • desvio-padrão populacional \sigma_A = 16 (horas)
    • tamanho da amostra n_A = 64
  • Dados do processo B:
    • média populacional \mu_B = 306 (horas)
    • desvio-padrão populacional \sigma_B = 12 (horas)
    • tamanho da amostra n_B = 49
  • O que é pedido: calcular a probabilidade de que a diferença das médias amostrais seja superior a 2 horas, ou seja:
\mathbb{P}\big(\bar{X}_A - \bar{X}_B > 2\big).

Passo 2

Ideia e fórmulas fundamentais (explicadinha passo a passo):
  • Quando temos uma amostra aleatória de tamanho n de uma população com média \mu e desvio-padrão \sigma, a média amostral \bar{X} tem média \mu e variância \sigma^2/n. Ou seja,
\mathbb{E}(\bar{X})=\mu,\qquad \mathrm{Var}(\bar{X})=\frac{\sigma^2}{n}.
Isto vale exatamente se a população for normal; pelo Teorema Central do Limite vale aproximadamente para amostras grandes mesmo sem normalidade.
  • Se \bar{X}_A e \bar{X}_B são independentes (assumimos independência entre os processos), a diferença \bar{X}_A-\bar{X}_B tem esperança igual à diferença das esperanças e variância igual à soma das variâncias:
\mathbb{E}(\bar{X}_A-\bar{X}_B)=\mu_A-\mu_B, \qquad \mathrm{Var}(\bar{X}_A-\bar{X}_B)=\mathrm{Var}(\bar{X}_A)+\mathrm{Var}(\bar{X}_B).
  • Para transformar o problema numa probabilidade da normal padrão, vamos padronizar:
Z=\frac{(\bar{X}_A-\bar{X}_B)-(\mu_A-\mu_B)}{\sqrt{\mathrm{Var}(\bar{X}_A-\bar{X}_B)}},
onde Z tem, aproximadamente, distribuição normal padrão N(0,1).

Passo 3

Aplicar as fórmulas para cada média amostral:
  • Variância da média de A:
\mathrm{Var}(\bar{X}_A)=\frac{\sigma_A^2}{n_A}=\frac{16^2}{64}=\frac{256}{64}=4.
  • Variância da média de B:
\mathrm{Var}(\bar{X}_B)=\frac{\sigma_B^2}{n_B}=\frac{12^2}{49}=\frac{144}{49}\approx 2,93877551.

Passo 4

Determinar a distribuição da diferença \bar{X}_A-\bar{X}_B:
  • Esperança:
\mathbb{E}(\bar{X}_A-\bar{X}_B)=\mu_A-\mu_B=300-306=-6.
  • Variância:
\mathrm{Var}(\bar{X}_A-\bar{X}_B)=4+\frac{144}{49}=4+\frac{144}{49}=6,93877551\\ (\text{aprox.}).
  • Desvio-padrão da diferença:
\sigma_{\Delta}=\sqrt{6,93877551}\approx 2,634156.
Portanto, aproximadamente,
\bar{X}_A-\bar{X}_B \sim N\big(-6,\;2,634156^2\big).

Passo 5

Padronizar o evento pedido \mathbb{P}(\bar{X}_A-\bar{X}_B>2):
  • Subtrair a média e dividir pelo desvio-padrão:
\mathbb{P}(\bar{X}_A-\bar{X}_B>2) = \mathbb{P}\!\left(\frac{(\bar{X}_A-\bar{X}_B)-(\mu_A-\mu_B)}{\sigma_{\Delta}}>\frac{2-(\mu_A-\mu_B)}{\sigma_{\Delta}}\right).
  • Calcular o valor de z no lado direito. Como \mu_A-\mu_B=-6,
\frac{2-(\mu_A-\mu_B)}{\sigma_{\Delta}}=\frac{2-(-6)}{\sigma_{\Delta}}=\frac{8}{\sigma_{\Delta}}=\frac{8}{2,634156}\approx 3,03794.
Assim
\mathbb{P}(\bar{X}_A-\bar{X}_B>2)=\mathbb{P}(Z>3,03794),
onde Z\sim N(0,1).

Passo 6

Calcular a probabilidade da cauda superior da normal padrão:
  • Para z\approx 3,03794 a probabilidade de que Z ultrapasse esse valor é muito pequena. Usando tabela da normal padrão ou aproximação assintótica:
\mathbb{P}(Z>3,03794)\approx 0,00116.
(Interpretação rápida: isso significa cerca de 0{,}116\%.)

Resposta

0{,}00116

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