Suponha que têm-se 2 processos ( A e B ) para produzir um artigo, e que o tempo médio de produção para o processo A é de 300 horas e desvio-padrão é de 16 horas, enquanto que para o processo B , o tempo médio é de 306 horas e o desvio-padrão é de 12 horas. Sorteia-se uma amostra aleatória de 64 artigos produzidos com processo A e 49 produzidos com o processo B. Calcular a probabilidade de que:
A diferença de médias amostrais seja superior a 2 horas.
A diferença de médias amostrais seja superior a 2 horas.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
-
Dados do processo A:
- média populacional
(horas) - desvio-padrão populacional
(horas) - tamanho da amostra
- média populacional
-
Dados do processo B:
- média populacional
(horas) - desvio-padrão populacional
(horas) - tamanho da amostra
- média populacional
-
O que é pedido: calcular a probabilidade de que a diferença das médias amostrais seja superior a 2 horas, ou seja:
Passo 2
Ideia e fórmulas fundamentais (explicadinha passo a passo):
- Quando temos uma amostra aleatória de tamanho
de uma população com média e desvio-padrão , a média amostral tem média e variância . Ou seja,
Isto vale exatamente se a população for normal; pelo Teorema Central do Limite vale aproximadamente para amostras grandes mesmo sem normalidade.
- Se
e são independentes (assumimos independência entre os processos), a diferença tem esperança igual à diferença das esperanças e variância igual à soma das variâncias:
- Para transformar o problema numa probabilidade da normal padrão, vamos padronizar:
onde
tem, aproximadamente, distribuição normal padrão
.
Passo 3
Aplicar as fórmulas para cada média amostral:
- Variância da média de
:
- Variância da média de
:
Passo 4
Determinar a distribuição da diferença
:
- Esperança:
- Variância:
- Desvio-padrão da diferença:
Portanto, aproximadamente,
Passo 5
Padronizar o evento pedido
:
- Subtrair a média e dividir pelo desvio-padrão:
- Calcular o valor de
no lado direito. Como ,
Assim
onde
.
Passo 6
Calcular a probabilidade da cauda superior da normal padrão:
- Para
a probabilidade de que ultrapasse esse valor é muito pequena. Usando tabela da normal padrão ou aproximação assintótica:
(Interpretação rápida: isso significa cerca de
.)