Suponha que têm-se 2 processos ( A e B ) para produzir um artigo, e que o tempo médio de produção para o processo A é de 300 horas e desvio-padrão é de 16 horas, enquanto que para o processo B , o tempo médio é de 306 horas e o desvio-padrão é de 12 horas. Sorteia-se uma amostra aleatória de 64 artigos produzidos com processo A e 49 produzidos com o processo B. Calcular a probabilidade de que:
O tempo médio de produção da amostra do processo A seja menor ao correspondente processo B .
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar nitidamente para não nos perdermos):
Informações sobre os processos:
Para o processo A: média do tempo de produção \mu_A = 300 horas e desvio-padrão populacional \sigma_A = 16 horas.
Para o processo B: média do tempo de produção \mu_B = 306 horas e desvio-padrão populacional \sigma_B = 12 horas.
Tamanhos das amostras sorteadas:
Amostra A: n_A = 64.
Amostra B: n_B = 49.
O que é pedido:
Calcular a probabilidade de que o tempo médio de produção da amostra do processo A seja menor do que o correspondente da amostra do processo B; ou seja, queremos
Ideia e justificativa (passo didático): quando tiramos amostras aleatórias grandes, a distribuição da média amostral se aproxima de uma normal (Teorema do Limite Central). Mesmo que as distribuições originais não sejam normais, como n_A=64 e n_B=49 são razoavelmente grandes, podemos aproximar as médias amostrais por normais.
Propriedades importantes das médias amostrais (cada uma explicada):
A média amostral \overline{X}_A tem aproximadamente distribuição normal com média \mu_A e variância \sigma_A^2/n_A. Em símbolos:\overline{X}_A \approx N\!\left(\mu_A,\; \frac{\sigma_A^2}{n_A}\right).Aqui \mu_A é a média populacional do processo A, \sigma_A^2 é a variância populacional do processo A, e n_A é o tamanho da amostra de A — dividir por n_A reduz a variância porque médias têm menor variabilidade que observações individuais.
Como as amostras são independentes, a diferença das médiasD := \overline{X}_A - \overline{X}_Btambém é (aproximadamente) normal, com média e variância dadas por soma/diferença das quantidades:\mathbb{E}[D] = \mu_A - \mu_B, \qquad \operatorname{Var}(D) = \frac{\sigma_A^2}{n_A} + \frac{\sigma_B^2}{n_B}.(A variação soma porque as amostras são independentes.)
Passo 3
Aplicando os números dados para obter a média e o desvio padrão da diferença D:
A média da diferença:
\mathbb{E}[D]=\mu_A-\mu_B=300-306=-6.
Interpretação: em média a média amostral de A fica 6 horas abaixo da de B.
onde \Phi é a função distribuição acumulada da normal padrão.
Passo 6
Agora avaliamos numericamente:
\sqrt{85}\approx 9{,}219544,
\dfrac{21}{\sqrt{85}}\approx 2{,}277.
Consultando a tabela da normal padrão ou usando uma calculadora para \Phi, obtemos
\Phi\!\left(2{,}277\right)\approx 0{,}9886.
Interpretação final (curtinha e motivadora): há cerca de 98{,}86\% de chance de que a média da amostra do processo A seja menor do que a média da amostra do processo B — nada mal para o processo A ganhar no tempo médio!