Suponha que têm-se 2 processos ( A e B ) para produzir um artigo, e que o tempo médio de produção para o processo A é de 300 horas e desvio-padrão é de 16 horas, enquanto que para o processo B , o tempo médio é de 306 horas e o desvio-padrão é de 12 horas. Sorteia-se uma amostra aleatória de 64 artigos produzidos com processo A e 49 produzidos com o processo B. Calcular a probabilidade de que:
O tempo médio de produção da amostra do processo A seja menor ao correspondente processo B .

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar nitidamente para não nos perdermos):
  • Informações sobre os processos:
    • Para o processo A: média do tempo de produção \mu_A = 300 horas e desvio-padrão populacional \sigma_A = 16 horas.
    • Para o processo B: média do tempo de produção \mu_B = 306 horas e desvio-padrão populacional \sigma_B = 12 horas.
  • Tamanhos das amostras sorteadas:
    • Amostra A: n_A = 64.
    • Amostra B: n_B = 49.
  • O que é pedido:
    • Calcular a probabilidade de que o tempo médio de produção da amostra do processo A seja menor do que o correspondente da amostra do processo B; ou seja, queremos
    \mathbb{P}\big(\overline{X}_A < \overline{X}_B\big).

Passo 2

Ideia e justificativa (passo didático): quando tiramos amostras aleatórias grandes, a distribuição da média amostral se aproxima de uma normal (Teorema do Limite Central). Mesmo que as distribuições originais não sejam normais, como n_A=64 e n_B=49 são razoavelmente grandes, podemos aproximar as médias amostrais por normais.
Propriedades importantes das médias amostrais (cada uma explicada):
  • A média amostral \overline{X}_A tem aproximadamente distribuição normal com média \mu_A e variância \sigma_A^2/n_A. Em símbolos: \overline{X}_A \approx N\!\left(\mu_A,\; \frac{\sigma_A^2}{n_A}\right).Aqui \mu_A é a média populacional do processo A, \sigma_A^2 é a variância populacional do processo A, e n_A é o tamanho da amostra de A — dividir por n_A reduz a variância porque médias têm menor variabilidade que observações individuais.
  • Analogamente, \overline{X}_B \approx N\!\left(\mu_B,\; \frac{\sigma_B^2}{n_B}\right).
  • Como as amostras são independentes, a diferença das médias D := \overline{X}_A - \overline{X}_Btambém é (aproximadamente) normal, com média e variância dadas por soma/diferença das quantidades: \mathbb{E}[D] = \mu_A - \mu_B, \qquad \operatorname{Var}(D) = \frac{\sigma_A^2}{n_A} + \frac{\sigma_B^2}{n_B}.(A variação soma porque as amostras são independentes.)

Passo 3

Aplicando os números dados para obter a média e o desvio padrão da diferença D:
  • A média da diferença:
    \mathbb{E}[D]=\mu_A-\mu_B=300-306=-6.
    Interpretação: em média a média amostral de A fica 6 horas abaixo da de B.
  • A variância de D:
    \operatorname{Var}(D)=\frac{16^2}{64}+\frac{12^2}{49}.
    Calculemos passo a passo:
    \frac{16^2}{64}=\frac{256}{64}=4, \qquad \frac{12^2}{49}=\frac{144}{49}.
    Portanto
    \operatorname{Var}(D)=4+\frac{144}{49}=\frac{196}{49}+\frac{144}{49}=\frac{340}{49}.
    O desvio padrão de D é
    \sigma_D=\sqrt{\operatorname{Var}(D)}=\sqrt{\frac{340}{49}}=\frac{\sqrt{340}}{7}=\frac{2\sqrt{85}}{7}.

Passo 4

Queremos a probabilidade
\mathbb{P}\big(\overline{X}_A<\overline{X}_B\big)=\mathbb{P}\big(D<0\big).
Padronizando D para usar a normal padrão Z\sim N(0,1):
\mathbb{P}\big(D<0\big)=\mathbb{P}\!\left(\frac{D-\mathbb{E}[D]}{\sigma_D}<\frac{0-\mathbb{E}[D]}{\sigma_D}\right) =\mathbb{P}\!\left(Z<\frac{0-(-6)}{\sigma_D}\right) =\mathbb{P}\!\left(Z<\frac{6}{\sigma_D}\right).

Passo 5

Calcule a razão dentro da função de cdf da normal:
Usando a expressão exata de \sigma_D,
\frac{6}{\sigma_D}=\frac{6}{\tfrac{2\sqrt{85}}{7}}=\frac{6\cdot7}{2\sqrt{85}}=\frac{21}{\sqrt{85}}.
Logo a probabilidade procurada é
\mathbb{P}\big(\overline{X}_A<\overline{X}_B\big)=\Phi\!\left(\frac{21}{\sqrt{85}}\right),
onde \Phi é a função distribuição acumulada da normal padrão.

Passo 6

Agora avaliamos numericamente:
  • \sqrt{85}\approx 9{,}219544,
  • \dfrac{21}{\sqrt{85}}\approx 2{,}277.
Consultando a tabela da normal padrão ou usando uma calculadora para \Phi, obtemos
\Phi\!\left(2{,}277\right)\approx 0{,}9886.
Interpretação final (curtinha e motivadora): há cerca de 98{,}86\% de chance de que a média da amostra do processo A seja menor do que a média da amostra do processo B — nada mal para o processo A ganhar no tempo médio!

Resposta

0,9886

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