A dimensão de hastes metálicas fabricadas em série é uma variável aleatória normalmente distribuída com média 60 cm e variância 4 cm . Ao se coletar uma amostra aleatória de 10 valores determine a probabilidade de que a média amostral esteja situada entre 59,5 a 60,5 \mathrm{~cm}. (Resposta: \cong 0,57046 )

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • A dimensão de hastes é uma variável aleatória com média \mu=60 cm e variância \sigma^{2}=4 cm ^2.
  • Foi coletada uma amostra aleatória de tamanho n=10.
  • Pede-se a probabilidade de que a média amostral \overline{X} esteja entre 59,5 e 60,5 cm, ou seja:
\Pr\bigl(59,5 \le \overline{X} \le 60,5\bigr).

Passo 2

Conceito-chave (explicado devagarinho): quando as observações X_1,\dots,X_n são independentes e cada X_i tem distribuição normal com média \mu e variância \sigma^{2}, a média amostral
\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i
tem distribuição normal com média \mu_{\overline{X}}=\mu e variância \sigma^{2}_{\overline{X}}=\dfrac{\sigma^{2}}{n}.
Aqui: \mu=60, \sigma^{2}=4 e n=10. Não precisa do Teorema do Limite Central porque a população já é normal — então a média amostral é exatamente normal.

Passo 3

Calcular média e desvio padrão da média amostral:
\mu_{\overline{X}}=60.
\sigma^{2}_{\overline{X}}=\frac{\sigma^{2}}{n}=\frac{4}{10}=0,4.
O desvio padrão é
\sigma_{\overline{X}}=\sqrt{0,4}\approx 0,632455\ldots
(ou seja, aproximadamente 0,63246 cm). Aqui \sigma_{\overline{X}} é o quanto, em média, a média amostral varia em torno de \mu.

Passo 4

Padronizar os limites para usar a tabela da Normal padrão Z\sim N(0,1).
A padronização é
Z=\frac{\overline{X}-\mu_{\overline{X}}}{\sigma_{\overline{X}}}.
Para o limite inferior 59,5:
z_{1}=\frac{59,5-60}{\sigma_{\overline{X}}}=\frac{-0,5}{\sqrt{0,4}}\approx -0,790569.
Para o limite superior 60,5:
z_{2}=\frac{60,5-60}{\sigma_{\overline{X}}}=\frac{0,5}{\sqrt{0,4}}\approx 0,790569.

Passo 5

A probabilidade pedida em termos de Z é
\Pr\bigl(59,5 \le \overline{X} \le 60,5\bigr)=\Pr\bigl(z_{1} \le Z \le z_{2}\bigr)=\Phi(z_{2})-\Phi(z_{1}),
onde \Phi é a função de distribuição da Normal padrão. Usando a simetria da Normal ( \Phi(-a)=1-\Phi(a)) obtemos
\Phi(z_{2})-\Phi(z_{1})=\Phi(0,790569)-\Phi(-0,790569)=2\Phi(0,790569)-1.

Passo 6

Consultar tabela da Normal padrão ou calculadora para \Phi(0,790569). Pela tabela/interpolação:
\Phi(0,790569)\approx 0,78523.
Portanto
\Pr\bigl(59,5 \le \overline{X} \le 60,5\bigr)=2\cdot 0,78523 - 1 = 0,57046\\ (\text{aprox.}).

Resposta

0,57046

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