A dimensão de hastes metálicas fabricadas em série é uma variável aleatória normalmente distribuída com média 60 cm e variância 4 cm . Ao se coletar uma amostra aleatória de 10 valores determine a probabilidade de que a média amostral esteja situada entre 59,5 a 60,5 \mathrm{~cm}. (Resposta: \cong 0,57046 )
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
A dimensão de hastes é uma variável aleatória com média \mu=60 cm e variância \sigma^{2}=4 cm^2.
Foi coletada uma amostra aleatória de tamanho n=10.
Pede-se a probabilidade de que a média amostral \overline{X} esteja entre 59,5 e 60,5 cm, ou seja:
\Pr\bigl(59,5 \le \overline{X} \le 60,5\bigr).
Passo 2
Conceito-chave (explicado devagarinho): quando as observações X_1,\dots,X_n são independentes e cada X_i tem distribuição normal com média \mu e variância \sigma^{2}, a média amostral
\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i
tem distribuição normal com média \mu_{\overline{X}}=\mu e variância \sigma^{2}_{\overline{X}}=\dfrac{\sigma^{2}}{n}.
Aqui: \mu=60, \sigma^{2}=4 e n=10. Não precisa do Teorema do Limite Central porque a população já é normal — então a média amostral é exatamente normal.