Admitindo como conhecidas apenas as propriedades axiomáticas que tornam
um corpo arquimediano ordenado e completo, prove as seguintes propriedades:
Se
então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá dois números reais
e
tais que
e pede para provar que
Vamos listar claramente as informações e os fatos axiomáticos que podemos usar (apenas os axiomas de corpo ordenado):
-
e são reais, com . - Para todo
existe o inverso multiplicativo tal que . - A ordem é compatível com a adição e com a multiplicação: se
então para todo , e se e então . - A multiplicação de dois números positivos é positiva: se
e então .
Nada mais é assumido explicitamente (nem completude nem arquimedianidade são necessárias aqui).
Passo 2
Mostro primeiro que o inverso de um número positivo é positivo. Seja
. Suponha, por contradição, que
. Como
, pela compatibilidade da ordem com a multiplicação, ao multiplicar a desigualdade
por
obtemos
Pelo axioma do inverso multiplicativo
e
, logo
o que é impossível nas propriedades de um corpo ordenado (pois
— isso também pode ser mostrado rapidamente: se
então somando
aos dois lados daria
, contradizendo que
é o elemento neutro multiplicativo distinto de
; de qualquer forma a desigualdade
é impossível). Portanto a suposição está errada e devemos ter
Aplicando o mesmo argumento a
obtemos
. Concluímos que ambos os inversos existem (já que
) e são positivos.
Passo 3
Agora usamos a desigualdade
. Já sabemos que
e
, então o produto
é positivo (produto de positivos é positivo). Pela compatibilidade da ordem com a multiplicação, ao multiplicar
por
mantemos o sentido da desigualdade:
Usando associatividade e a propriedade do inverso multiplicativo, calculamos cada lado:
Portanto a desigualdade acima se transforma em
Passo 4
Juntando o que já provamos: de Passo 2 temos
e de Passo 3 temos
. Assim obtemos a cadeia desejada