Admitindo como conhecidas apenas as propriedades axiomáticas que tornam R um corpo arquimediano ordenado e completo, prove as seguintes propriedades:
Se 0<x<y então 0<y^{\wedge}-1<x-1.

Passo 1

O enunciado dá dois números reais x e y tais que 0<x<y e pede para provar que
0<y^{-1}<x^{-1}.
Vamos listar claramente as informações e os fatos axiomáticos que podemos usar (apenas os axiomas de corpo ordenado):
  • x e y são reais, com 0<x<y.
  • Para todo z\neq 0 existe o inverso multiplicativo z^{-1} tal que z\cdot z^{-1}=1.
  • A ordem é compatível com a adição e com a multiplicação: se a<b então a+c<b+c para todo c, e se a<b e 0<c então ac<bc.
  • A multiplicação de dois números positivos é positiva: se a>0 e b>0 então ab>0.
    Nada mais é assumido explicitamente (nem completude nem arquimedianidade são necessárias aqui).

Passo 2

Mostro primeiro que o inverso de um número positivo é positivo. Seja x>0. Suponha, por contradição, que x^{-1}\le 0. Como x>0, pela compatibilidade da ordem com a multiplicação, ao multiplicar a desigualdade x^{-1}\le 0 por x>0 obtemos
x\cdot x^{-1} \le x\cdot 0.
Pelo axioma do inverso multiplicativo x\cdot x^{-1}=1 e x\cdot 0=0, logo
1 \le 0,
o que é impossível nas propriedades de um corpo ordenado (pois 1>0 — isso também pode ser mostrado rapidamente: se 1\le 0 então somando -1 aos dois lados daria 0\le -1, contradizendo que 1 é o elemento neutro multiplicativo distinto de 0; de qualquer forma a desigualdade 1\le 0 é impossível). Portanto a suposição está errada e devemos ter
x^{-1}>0.
Aplicando o mesmo argumento a y>0 obtemos y^{-1}>0. Concluímos que ambos os inversos existem (já que x,y\neq0) e são positivos.

Passo 3

Agora usamos a desigualdade x<y. Já sabemos que x^{-1}>0 e y^{-1}>0, então o produto x^{-1}y^{-1} é positivo (produto de positivos é positivo). Pela compatibilidade da ordem com a multiplicação, ao multiplicar x<y por x^{-1}y^{-1}>0 mantemos o sentido da desigualdade:
x\cdot (x^{-1}y^{-1}) < y\cdot (x^{-1}y^{-1}).
Usando associatividade e a propriedade do inverso multiplicativo, calculamos cada lado:
x\cdot (x^{-1}y^{-1})=(x\cdot x^{-1})\cdot y^{-1}=1\cdot y^{-1}=y^{-1},
y\cdot (x^{-1}y^{-1})=(y\cdot y^{-1})\cdot x^{-1}=1\cdot x^{-1}=x^{-1}.
Portanto a desigualdade acima se transforma em
y^{-1} < x^{-1}.

Passo 4

Juntando o que já provamos: de Passo 2 temos y^{-1}>0 e de Passo 3 temos y^{-1}<x^{-1}. Assim obtemos a cadeia desejada
0<y^{-1}<x^{-1}.

Resposta

0<y^{-1}<x^{-1}

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