( 2.5 pontos) Dado o sistema linear abaixo:
\left\{\begin{aligned} 2 x_{1}+x_{2}-x_{3} & =1 \\\ x_{1}+2 x_{2}+x_{3} & =8 \\\\ -x_{1}+x_{2}+2 x_{3} & =7 \end{aligned}\right.
a) Determine o vetor solução resolvendo o sistema através do método da Eliminação de Gauss. Apresente

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\left\{\begin{aligned} 2x_{1}+x_{2}-x_{3} &=1,\\[4pt] x_{1}+2x_{2}+x_{3} &=8,\\[4pt] - x_{1}+x_{2}+2x_{3} &=7, \end{aligned}\right.
e pede para determinar o vetor solução resolvendo o sistema pelo método da Eliminação de Gauss.
Informações relevantes fornecidas:
  • As incógnitas são x_{1},x_{2},x_{3}.
  • São três equações lineares que formam um sistema 3\times3.
  • O objetivo é aplicar a eliminação (operações elementares em linhas) até obter uma forma triangular e então fazer substituição regressiva ou identificar soluções paramétricas, se houver.]

Passo 2

Breve lembrete didático do método (sem resolver ainda): transformar o sistema numa matriz aumentada e usar operações elementares nas linhas (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha em outra) para obter uma matriz triangular superior. Cada operação corresponde a transformar as equações sem alterar o conjunto de soluções. Depois que a matriz estiver triangular, resolve-se por substituição regressiva. Vou montar a matriz aumentada do sistema para trabalhar de forma organizada.
Matriz aumentada inicial (peguei os coeficientes e os termos independentes do enunciado):
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 1 & 8\\[4pt] -1 & 1 & 2 & 7 \end{array}\right].]

Passo 3

Escolho o elemento 2 (primeira linha, primeira coluna) como primeiro pivô. Vou eliminar x_{1} nas equações 2 e 3 usando combinações lineares:
  • Para zerar o elemento da linha 2, coluna 1: faço R_{2}\leftarrow R_{2}-\dfrac{1}{2}R_{1}. Calculemos cada entrada de R_{2}:
    • Nova entrada (2,1): 1-\dfrac{1}{2}\cdot 2 = 1-1=0.
    • Nova entrada (2,2): 2-\dfrac{1}{2}\cdot 1 = 2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}.
    • Nova entrada (2,3): 1-\dfrac{1}{2}\cdot(-1)=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}.
    • Novo termo independente (2): 8-\dfrac{1}{2}\cdot 1=8-\dfrac{1}{2}=\dfrac{15}{2}.
  • Para zerar o elemento da linha 3, coluna 1: faço R_{3}\leftarrow R_{3}+\dfrac{1}{2}R_{1}. Calculemos cada entrada de R_{3}:
    • Nova entrada (3,1): -1+\dfrac{1}{2}\cdot 2 = -1+1=0.
    • Nova entrada (3,2): 1+\dfrac{1}{2}\cdot 1 = 1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}.
    • Nova entrada (3,3): 2+\dfrac{1}{2}\cdot(-1)=2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}.
    • Novo termo independente (3): 7+\dfrac{1}{2}\cdot 1=7+\dfrac{1}{2}=\dfrac{15}{2}.
Após essas operações a matriz aumentada fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & \dfrac{3}{2} & \dfrac{3}{2} & \dfrac{15}{2}\\[6pt] 0 & \dfrac{3}{2} & \dfrac{3}{2} & \dfrac{15}{2} \end{array}\right].]

Passo 4

Observação importante: as linhas 2 e 3 ficaram idênticas. Agora uso o pivô da linha 2, que é \dfrac{3}{2}, para eliminar abaixo (linha 3). Faço R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{2}. Calculando:
  • Nova linha 3 será [0,\tfrac{3}{2}-\tfrac{3}{2},\tfrac{3}{2}-\tfrac{3}{2}\;|\;\tfrac{15}{2}-\tfrac{15}{2}]=[0,0,0\;|\;0].
A matriz agora é
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & \dfrac{3}{2} & \dfrac{3}{2} & \dfrac{15}{2}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Interpretação: apareceu uma linha nula. Isso significa que o posto da matriz dos coeficientes é 2 (há dois pivôs não nulos) enquanto o número de incógnitas é 3. Portanto o sistema tem infinitas soluções: haverá uma variável livre. Vou parametrizar a solução tomando uma variável como parâmetro.]

Passo 5

Da linha 2 (antes de zerar, mas mais simples agora) temos a equação correspondente
\dfrac{3}{2}x_{2}+\dfrac{3}{2}x_{3}=\dfrac{15}{2}.
Dividindo ambos os lados por \dfrac{3}{2} (isto é, multiplicando por \dfrac{2}{3}) obtemos uma equação mais simples:
x_{2}+x_{3}=5.
Vou escolher x_{3} como parâmetro livre. Seja t\in\mathbb{R} e defina x_{3}=t. Então
x_{2}=5-x_{3}=5-t.

Passo 6

Agora uso a primeira equação (correspondente à primeira linha) para encontrar x_{1}. A primeira equação é
2x_{1}+x_{2}-x_{3}=1.
Substituo x_{2}=5-t e x_{3}=t:
2x_{1}+(5-t)-t=1.
Simplifico:
2x_{1}+5-2t=1.
Isolando x_{1}:
2x_{1}=1-5+2t=-4+2t,
x_{1}=-2+t.

Passo 7

Reunindo as componentes em função do parâmetro t, a solução geral do sistema é
\begin{aligned} x_{1} &= -2+t,\\[4pt] x_{2} &= 5-t,\\[4pt] x_{3} &= t, \end{aligned} \qquad t\in\mathbb{R}.
Em forma vetorial (da maneira usual) isso pode ser escrito como
\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\[4pt]5\\[4pt]0\end{pmatrix} +t \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix}, \qquad t\in\mathbb{R}.]

Resposta

\displaystyle \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\[4pt]5\\[4pt]0\end{pmatrix} +t \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.]

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