Considere a função f(x)=X^{3}-5 x+3. Sabe-se que esta função possui uma raiz real positiva no intervalo [0,1]
Aplique o método da secante para estimar a mesma raiz. Realize exatamente 2 iterações utilizando como aproximações iniciais x_{0}=0 e x_{1}=1. Apresente os valores de x_{2} e x_{3}.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A função \,f(x)=x^{3}-5x+3\,.
  • Sabe-se que existe uma raiz real positiva em [0,1].
  • Devemos aplicar o método da secante com as aproximações iniciais \,x_{0}=0 e \,x_{1}=1.
  • Fazer exatamente duas iterações do método da secante e apresentar \,x_{2} e \,x_{3}.
O que o problema pede explicitamente:
  • Calcular \,x_{2} (primeira iteração usando x_{0},x_{1}).
  • Calcular \,x_{3} (segunda iteração usando x_{1},x_{2}).

Passo 2

O que é o método da secante e a fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • A ideia da secante é aproximar a função por uma reta que passa pelos pontos (x_{n-1},f(x_{n-1})) e (x_n,f(x_n)), e tomar a interseção dessa reta com o eixo x como a próxima aproximação da raiz.
  • A fórmula iterativa do método da secante é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)\,(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
  • Nesta fórmula:
    • x_{n-1} e x_n são as duas aproximações mais recentes;
    • f(x_{n-1}) e f(x_n) são os valores da função nesses pontos;
    • O quociente \dfrac{f(x_n)\,(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})} é o deslocamento ao longo do eixo x para chegar à interseção da reta secante com o eixo x.
Exemplo rápido para fixar (sem calcular): se f(x_n) e f(x_{n-1}) têm sinais opostos, a secante costuma produzir uma nova aproximação entre x_{n-1} e x_n, o que é desejável quando buscamos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Calcular f(x_{0}) e f(x_{1}) usando a função dada.
f(x)=x^{3}-5x+3
Para \,x_{0}=0:
f(0)=0^{3}-5\cdot0+3=3.
Para \,x_{1}=1:
f(1)=1^{3}-5\cdot1+3=1-5+3=-1.
Observação: peguei os valores de \,x_{0} e \,x_{1} do enunciado e calculei f substituindo diretamente.

Passo 4

Calcular \,x_{2} pela fórmula da secante usando \,x_{0}=0 e \,x_{1}=1.
Aplicando
x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})\,(x_{1}-x_{0})}{f(x_{1})-f(x_{0})},
substituindo os valores:
x_{2}=1-\frac{(-1)\cdot(1-0)}{-1-3} =1-\frac{-1}{-4} =1-\frac{1}{4} =\frac{3}{4}.
Convertendo para decimal (apenas para intuir): \,\dfrac{3}{4}=0{,}75.

Passo 5

Calcular f(x_{2}) porque precisamos dele para a próxima iteração.
x_{2}=\frac{3}{4}.
Então
f\!\left(\frac{3}{4}\right)=\left(\frac{3}{4}\right)^{3}-5\cdot\frac{3}{4}+3 =\frac{27}{64}-\frac{15}{4}+3.
Colocando em denominador comum 64:
\frac{27}{64}-\frac{15}{4}+3 =\frac{27}{64}-\frac{240}{64}+\frac{192}{64} =\frac{27-240+192}{64} =\frac{-21}{64}.
Convertendo para decimal com vírgula: \,\dfrac{-21}{64}=-0{,}328125.
Portanto \,f(x_{2})=-\dfrac{21}{64}=-0{,}328125.

Passo 6

Calcular \,x_{3} usando agora \,x_{1}=1 e \,x_{2}=\dfrac{3}{4}.
Usamos a fórmula
x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2})\,(x_{2}-x_{1})}{f(x_{2})-f(x_{1})}.
Substituindo os valores (sendo cauteloso com sinais):
x_{2}-x_{1}=\frac{3}{4}-1=-\frac{1}{4}.
f(x_{2})=-\frac{21}{64},\qquad f(x_{1})=-1.
O denominador:
f(x_{2})-f(x_{1})=-\frac{21}{64}-(-1)=-\frac{21}{64}+1=-\frac{21}{64}+\frac{64}{64}=\frac{43}{64}.
O numerador (produto):
f(x_{2})\,(x_{2}-x_{1})=-\frac{21}{64}\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{21}{256}.
Agora a fração inteira:
\frac{f(x_{2})\,(x_{2}-x_{1})}{f(x_{2})-f(x_{1})}= \frac{\dfrac{21}{256}}{\dfrac{43}{64}} =\frac{21}{256}\cdot\frac{64}{43} =\frac{21}{4\cdot43} =\frac{21}{172}.
Portanto
x_{3}=x_{2}-\frac{21}{172}=\frac{3}{4}-\frac{21}{172}.
Colocando \dfrac{3}{4} com denominador 172: \dfrac{3}{4}=\dfrac{129}{172}. Assim
x_{3}=\frac{129}{172}-\frac{21}{172}=\frac{108}{172}.
Simplificando por 4:
x_{3}=\frac{27}{43}.
Decimal aproximado (para intuição): \dfrac{27}{43}\approx0{,}6279069767.

Resposta

x_{2}=\dfrac{3}{4}=0{,}75
x_{3}=\dfrac{27}{43}\approx0{,}6279069767

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