Considere a função
. Sabe-se que esta função possui uma raiz real positiva no intervalo [0,1]
Aplique o método da secante para estimar a mesma raiz. Realize exatamente 2 iterações utilizando como aproximações iniciais
e
. Apresente os valores de
e
.
Aplique o método da secante para estimar a mesma raiz. Realize exatamente 2 iterações utilizando como aproximações iniciais
Passo 1
O enunciado nos dá:
- A função
. - Sabe-se que existe uma raiz real positiva em
. - Devemos aplicar o método da secante com as aproximações iniciais
e . - Fazer exatamente duas iterações do método da secante e apresentar
e .
O que o problema pede explicitamente:
- Calcular
(primeira iteração usando ). - Calcular
(segunda iteração usando ).
Passo 2
O que é o método da secante e a fórmula que vamos usar (explicação didática):
- A ideia da secante é aproximar a função por uma reta que passa pelos pontos
e , e tomar a interseção dessa reta com o eixo como a próxima aproximação da raiz. - A fórmula iterativa do método da secante é
- Nesta fórmula:
-
e são as duas aproximações mais recentes; -
e são os valores da função nesses pontos; - O quociente
é o deslocamento ao longo do eixo para chegar à interseção da reta secante com o eixo .
-
Exemplo rápido para fixar (sem calcular): se
e
têm sinais opostos, a secante costuma produzir uma nova aproximação entre
e
, o que é desejável quando buscamos uma raiz nesse intervalo.
Passo 3
Calcular
e
usando a função dada.
Para
:
Para
:
Observação: peguei os valores de
e
do enunciado e calculei
substituindo diretamente.
Passo 4
Calcular
pela fórmula da secante usando
e
.
Aplicando
Aplicando
substituindo os valores:
Convertendo para decimal (apenas para intuir):
.
Passo 5
Calcular
porque precisamos dele para a próxima iteração.
Então
Colocando em denominador comum
:
Convertendo para decimal com vírgula:
.
Portanto
.
Passo 6
Calcular
usando agora
e
.
Usamos a fórmula
Usamos a fórmula
Substituindo os valores (sendo cauteloso com sinais):
O denominador:
O numerador (produto):
Agora a fração inteira:
Portanto
Colocando
com denominador
:
. Assim
Simplificando por
:
Decimal aproximado (para intuição):
.