Admitindo como conhecidas apenas as propriedades axiomáticas que tornam R um corpo arquimediano ordenado e completo, prove as seguintes propriedades:
Se 0<x<y e 0<z<w então x \cdot z<y \cdot w.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados: 0<x<y e 0<z<w. (Peguei esses limites do enunciado.)
  • Pedido: provar que x\cdot z<y\cdot w.
Vou trabalhar estritamente com as propriedades axiomáticas de um corpo ordenado: em particular posso usar que, para quaisquer a,b, a diferença b-a tem sentido e que se b-a>0 então isso expressa a desigualdade a<b; que o produto de dois números positivos é positivo; e as propriedades algébricas usuais (distributividade, comutatividade, associatividade). Não começo a resolver ainda; só deixei claro o dado e o alvo.

Passo 2

Lema útil (e simples): se a<b e c>0 então ac<bc. Vou provar esse lema porque é a ferramenta que permitirá multiplicar desigualdades quando o fator for positivo.
Prova do lema: a hipótese a<b é equivalente a dizer que b-a>0. Como c>0 e o produto de positivos é positivo, temos
(b-a)c>0.
Pelo distributivo,
(b-a)c = bc - ac.
Portanto bc-ac>0, que é equivalente a ac<bc. Isso mostra exatamente que multiplicar uma desigualdade por um número positivo preserva a desigualdade. (Cada passo usou apenas axiomas de corpo ordenado: diferença, produto de positivos é positivo e distributividade.)

Passo 3

Aplicação do lema ao primeiro par de desigualdades: usar a=x, b=y, c=z. Como 0<x<y e z>0, pelas hipóteses temos x<y e z>0. Então, pelo lema,
xz<yz.
Expliquei: aqui multipliquei x<y pelo positivo z e usei a prova do lema.

Passo 4

Aplicação do lema ao segundo par de desigualdades (em outra ordem): usar a=z, b=w, c=x. Como 0<z<w e x>0, pelo lema obtemos
xz<xw.
Observação de simetria: escrevi xz em vez de zx por conveniência (produto é comutativo), mas estou simplesmente multiplicando z<w pelo positivo x.

Passo 5

Também posso multiplicar x<y pelo positivo w (usar a=x, b=y, c=w) para obter
xw<yw.
Faço isso para criar uma cadeia de desigualdades que leve de xz até yw.

Passo 6

Agora juntei as desigualdades obtidas:
  • Do Passo 4: xz<xw.
  • Do Passo 5: xw<yw.
Pela transitividade da ordem (se u<v e v<w então u<w), segue
xz<yw.
Esse é exatamente o que queríamos demonstrar: multiplicando os menores pelos menores e os maiores pelos maiores (todos positivos) obtemos x\cdot z<y\cdot w.

Resposta

x\cdot z<y\cdot w

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