Admitindo como conhecidas apenas as propriedades axiomáticas que tornam
um corpo arquimediano ordenado e completo, prove as seguintes propriedades:
Se
e
então
.
Se
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Dados:
e . (Peguei esses limites do enunciado.) - Pedido: provar que
.
Vou trabalhar estritamente com as propriedades axiomáticas de um corpo ordenado: em particular posso usar que, para quaisquer
, a diferença
tem sentido e que se
então isso expressa a desigualdade
; que o produto de dois números positivos é positivo; e as propriedades algébricas usuais (distributividade, comutatividade, associatividade). Não começo a resolver ainda; só deixei claro o dado e o alvo.
Passo 2
Lema útil (e simples): se
e
então
. Vou provar esse lema porque é a ferramenta que permitirá multiplicar desigualdades quando o fator for positivo.
Prova do lema: a hipótese
é equivalente a dizer que
. Como
e o produto de positivos é positivo, temos
Pelo distributivo,
Portanto
, que é equivalente a
. Isso mostra exatamente que multiplicar uma desigualdade por um número positivo preserva a desigualdade. (Cada passo usou apenas axiomas de corpo ordenado: diferença, produto de positivos é positivo e distributividade.)
Passo 3
Aplicação do lema ao primeiro par de desigualdades: usar
,
,
. Como
e
, pelas hipóteses temos
e
. Então, pelo lema,
Expliquei: aqui multipliquei
pelo positivo
e usei a prova do lema.
Passo 4
Aplicação do lema ao segundo par de desigualdades (em outra ordem): usar
,
,
. Como
e
, pelo lema obtemos
Observação de simetria: escrevi
em vez de
por conveniência (produto é comutativo), mas estou simplesmente multiplicando
pelo positivo
.
Passo 5
Também posso multiplicar
pelo positivo
(usar
,
,
) para obter
Faço isso para criar uma cadeia de desigualdades que leve de
até
.
Passo 6
Agora juntei as desigualdades obtidas:
- Do Passo 4:
. - Do Passo 5:
.
Pela transitividade da ordem (se
e
então
), segue
Esse é exatamente o que queríamos demonstrar: multiplicando os menores pelos menores e os maiores pelos maiores (todos positivos) obtemos
.