Prove os seguintes itens:
Se 0<a<1 então a^{\wedge} n<a, para todo n \in N.

Passo 1

O enunciado dá a informação
0<a<1
e pede para provar que
a^{\wedge} n<a
para todo n\in\mathbb{N}.
Observação importante (informação do enunciado que afeta a validade): para n=1 tem-se a^{1}=a, ou seja, a desigualdade estrita falha em n=1. Portanto a formulação correta que podemos provar é:
\text{para todo }n\in\mathbb{N}\text{ com }n\ge 2,\quad a^{n}<a.
Vou provar essa afirmação (e no final escrevo a resposta final separada).

Passo 2

Lema útil (propriedade de multiplicação por número entre 0 e 1). Vou provar e explicar porque é verdade:
Se 0<a<1 e c>0 então ac<c.
Explicação detalhada: como 0<a<1 temos a-1<0. Multiplicando essa desigualdade por c>0 (multiplicar por número positivo preserva o sinal da desigualdade) obtemos
c(a-1)<0.
Expandindo,
ac-c<0,
portanto
ac<c.
Isto é intuitivo: multiplicar um número positivo c por um fator a menor que 1 reduz c.

Passo 3

Base da indução: provar para n=2.
Aplicando o lema do passo anterior com c=a (note que c=a>0 porque 0<a<1), obtemos
a\cdot a<a,
ou seja
a^{2}<a.
Logo a afirmação é verdadeira para n=2.

Passo 4

Passo indutivo: assumimos que para algum k\ge 2 vale
a^{k}<a.
Queremos provar que então vale
a^{k+1}<a.
Como a>0, podemos multiplicar a desigualdade a^{k}<a por a e manter a desigualdade com o mesmo sentido. Fazendo isso:
a\cdot a^{k}<a\cdot a
ou seja
a^{k+1}<a^{2}.
Mas do passo 3 sabemos que a^{2}<a. Pela transitividade das desigualdades (se x<y e y<z então x<z) obtemos
a^{k+1}<a^{2}<a \quad\Longrightarrow\quad a^{k+1}<a.
Isso completa o passo indutivo.

Passo 5

Conclusão por indução matemática: como a propriedade vale para n=2 (base) e, sempre que vale para um k\ge2 implica que vale para k+1 (passo indutivo), segue por indução que a desigualdade
a^{n}<a
vale para todo n\in\mathbb{N} com n\ge2.

Passo 6

Comentário intuitivo e exemplo para fixar: a sequência \bigl(a^{n}\bigr)_{n\ge1} é geométrica com razão a\in(0,1). Como a razão é menor que 1, os termos decrescem: a^{n+1}=a\cdot a^{n}<a^{n}. Em particular, para n\ge2 tem-se a^{n}<a^{1}=a.
Exemplo numérico: se a=\tfrac12, então \left(\tfrac12\right)^{2}=\tfrac14<\tfrac12, \left(\tfrac12\right)^{3}=\tfrac18<\tfrac12, etc.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N} com n\ge 2: a^{n}<a.
Para n=1: a^{1}=a.

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