Prove os seguintes itens:
Se
então
, para todo
.
Se
Passo 1
O enunciado dá a informação
e pede para provar que
para todo
.
Observação importante (informação do enunciado que afeta a validade): para
tem-se
, ou seja, a desigualdade estrita falha em
. Portanto a formulação correta que podemos provar é:
Vou provar essa afirmação (e no final escrevo a resposta final separada).
Passo 2
Lema útil (propriedade de multiplicação por número entre 0 e 1). Vou provar e explicar porque é verdade:
Se
e
então
.
Explicação detalhada: como
temos
. Multiplicando essa desigualdade por
(multiplicar por número positivo preserva o sinal da desigualdade) obtemos
Expandindo,
portanto
Isto é intuitivo: multiplicar um número positivo
por um fator
menor que 1 reduz
.
Passo 3
Base da indução: provar para
.
Aplicando o lema do passo anterior com
(note que
porque
), obtemos
ou seja
Logo a afirmação é verdadeira para
.
Passo 4
Passo indutivo: assumimos que para algum
vale
Queremos provar que então vale
Como
, podemos multiplicar a desigualdade
por
e manter a desigualdade com o mesmo sentido. Fazendo isso:
ou seja
Mas do passo 3 sabemos que
. Pela transitividade das desigualdades (se
e
então
) obtemos
Isso completa o passo indutivo.
Passo 5
Conclusão por indução matemática: como a propriedade vale para
(base) e, sempre que vale para um
implica que vale para
(passo indutivo), segue por indução que a desigualdade
vale para todo
com
.
Passo 6
Comentário intuitivo e exemplo para fixar: a sequência
é geométrica com razão
. Como a razão é menor que 1, os termos decrescem:
. Em particular, para
tem-se
.
Exemplo numérico: se
, então
,
, etc.
Resposta
Para todo
com
:
.
Para
:
.