Admitindo como conhecidas apenas as propriedades axiomáticas que tornam R um corpo arquimediano ordenado e completo, prove as seguintes propriedades:
Se x \neq 0 e x \cdot y=x então y=1.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar claramente o que foi fornecido):
  • x \neq 0.
  • x\cdot y = x.
O que é pedido: provar que y = 1.

Passo 2

Lembrar (e usar) propriedades axiomáticas de um corpo:
  • Existe um elemento identidade multiplicativa, denotado por 1, tal que para todo z vale 1\cdot z = z e z\cdot 1 = z.
  • Para todo elemento não nulo z existe um inverso multiplicativo, denotado z^{-1}, tal que z\cdot z^{-1}=1 e z^{-1}\cdot z=1.
  • A multiplicação é associativa: para quaisquer a,b,c vale (a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c).
Estas são axiomas que podem ser usados sem demonstração.

Passo 3

Como x\neq 0, pelo axioma existe o inverso multiplicativo x^{-1} tal que x^{-1}\cdot x = 1.
Aplique x^{-1} multiplicando ambos os lados da igualdade x\cdot y = x. Escolhe-se multiplicar à esquerda por x^{-1}, o que é permitido porque a multiplicação é definida para todos os elementos do corpo:
x^{-1}\cdot (x\cdot y) = x^{-1}\cdot x.

Passo 4

Use a associatividade da multiplicação para reescrever o lado esquerdo:
x^{-1}\cdot (x\cdot y) = (x^{-1}\cdot x)\cdot y.
Pelo fato de x^{-1}\cdot x = 1, isso fica
(x^{-1}\cdot x)\cdot y = 1\cdot y.
E 1\cdot y = y pela propriedade da identidade multiplicativa. Assim o lado esquerdo simplifica para y.
No lado direito já temos x^{-1}\cdot x = 1. Portanto a igualdade do Passo 3 torna-se
y = 1.

Passo 5

Comentário final didático e verificação da hipótese: a hipótese x\neq 0 foi essencial porque só assim existe x^{-1}. Se x=0 então 0\cdot y=0 para todo y e não se pode concluir y=1. Portanto a conclusão y=1 é válida exatamente sob a hipótese x\neq 0.

Resposta

y=1

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