Admitindo como conhecidas apenas as propriedades axiomáticas que tornam
um corpo arquimediano ordenado e completo, prove as seguintes propriedades:
Se
e
então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar claramente o que foi fornecido):
-
. -
.
O que é pedido: provar que
.
Passo 2
Lembrar (e usar) propriedades axiomáticas de um corpo:
- Existe um elemento identidade multiplicativa, denotado por
, tal que para todo vale e . - Para todo elemento não nulo
existe um inverso multiplicativo, denotado , tal que e . - A multiplicação é associativa: para quaisquer
vale .
Estas são axiomas que podem ser usados sem demonstração.
Passo 3
Como
, pelo axioma existe o inverso multiplicativo
tal que
.
Aplique
multiplicando ambos os lados da igualdade
. Escolhe-se multiplicar à esquerda por
, o que é permitido porque a multiplicação é definida para todos os elementos do corpo:
Passo 4
Use a associatividade da multiplicação para reescrever o lado esquerdo:
Pelo fato de
, isso fica
E
pela propriedade da identidade multiplicativa. Assim o lado esquerdo simplifica para
.
No lado direito já temos
. Portanto a igualdade do Passo 3 torna-se
Passo 5
Comentário final didático e verificação da hipótese: a hipótese
foi essencial porque só assim existe
. Se
então
para todo
e não se pode concluir
. Portanto a conclusão
é válida exatamente sob a hipótese
.