Admitindo-se que um diamante contenha apenas átomos de carbono e que cada quilate corresponda a 200 mg , determine o número de quilates em um diamante que contenha 2 \cdot 10^{22} átomos. (Dado: Massa atômica do \mathrm{C}=12 \mathrm{u} )

Passo 1

O enunciado pede: determine o número de quilates em um diamante que contém 2\cdot10^{22} átomos de carbono.
Informações dadas no enunciado:
\; \bullet número de átomos no diamante: 2\cdot10^{22}.
\; \bullet cada quilate corresponde a 200\\ \text{mg}.
\; \bullet massa atômica do carbono: \mathrm{C}=12\\ \mathrm{u}.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): uma maneira prática de passar de número de átomos para massa é usar o conceito de mol e a constante de Avogadro. Uma molação (1 mol) de átomos contém um número fixo de átomos chamado constante de Avogadro N_A. A massa de 1 mol de carbono (átomos) é numericamente igual à massa atômica em gramas: como a massa atômica do carbono é 12\\ \mathrm{u}, 1 mol de carbono tem massa 12\\ \text{g} e contém N_A átomos. Portanto a massa de um único átomo de carbono é a massa molar dividida por N_A.
Valor que vamos usar (constante padrão): N_A = 6,02\times10^{23} átomos por mol.
Fórmula que vamos aplicar: a massa de um átomo é
\text{massa por átomo} = \frac{\text{massa de 1 mol}}{N_A} = \frac{12\\ \text{g}}{N_A}.á

Passo 3

Calcular a massa de um átomo de carbono. Usando N_A = 6,02\times10^{23}:
\text{massa por átomo} = \frac{12\\ \text{g}}{6,02\times10^{23}}.á
Façamos a divisão numérica: 12/6,02 \approx 1,993355. Mantendo a potência de dez:
\text{massa por átomo} \approx 1,993355\times10^{-23}\\ \text{g}.á
(Interpretação: cada átomo de carbono tem cerca de 1,993\times10^{-23}\\ \text{g}.)

Passo 4

Calcular a massa total do diamante que contém 2\cdot10^{22} átomos: multiplicamos o número de átomos pela massa por átomo:
\text{massa do diamante} = 2\cdot10^{22}\times\frac{12\\ \text{g}}{6,02\times10^{23}}.
Organizando a potência de dez e a divisão:
\text{massa do diamante} = \frac{24}{6,02}\times10^{-1}\\ \text{g}.
Calculando \frac{24}{6,02}\approx3,98671, portanto
\text{massa do diamante} \approx 3,98671\times10^{-1}\\ \text{g} = 0,398671\\ \text{g}.

Passo 5

Converter a massa para miligramas e em seguida para quilates. Primeiro converter para mg:
0,398671\\ \text{g} = 398,671\\ \text{mg}.
Cada quilate vale 200\\ \text{mg}, logo o número de quilates é
\text{quilates} = \frac{398,671\\ \text{mg}}{200\\ \text{mg}} = 1,993355.

Passo 6

Arredondamento e interpretação final: o valor 1,993355 quilates é aproximadamente 1,99 quilates, que é praticamente 2,0 quilates. Portanto o diamante contém quase dois quilates.

Resposta

1,99\\ \text{quilates} (aproximadamente 2,0\\ \text{quilates})

Exercícios relacionados