Admitindo as operações possíveis e considerando
constante, prove as seguintes regras de derivação para o operador Gradiente:
© Quociente:
.
© Quociente:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos provar a regra de derivação para o gradiente de um quociente de duas funções, ou seja, encontrar
. Aqui,
é o operador gradiente, que nos dá um vetor com as derivadas parciais de uma função em relação a cada uma das suas variáveis. Para isso, vamos precisar usar a regra do quociente para derivar funções e entender como aplicá-la ao operador gradiente.
Passo 2
Primeiro, lembremos da regra do quociente para derivadas de funções escalares. Se temos duas funções
e
, com
, a derivada de
em relação a
é dada por:
Queremos uma expressão semelhante, mas agora para o operador gradiente que atua em funções de várias variáveis.
Passo 3
O operador gradiente
atua em funções escalares de várias variáveis, e resulta em um vetor cujas componentes são as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Por exemplo, se temos uma função
, então:
Então, para a função
, teremos:
E o mesmo vale para as outras derivadas parciais.
Passo 4
Isso significa que podemos aplicar a regra do quociente a cada componente do gradiente. Então, o gradiente de
será um vetor cujas componentes são dadas por:
Passo 5
Mas podemos expressar isso de forma mais compacta usando o próprio operador gradiente. Observe que:
Portanto, a expressão para o gradiente do quociente fica:
Resposta
Então, demonstramos que: