Admitindo as operações possíveis e considerando lambda constante, prove as seguintes regras de derivação para o operador Gradiente:
© Quociente: nabla(f/g) = (g * nabla f - f * nabla g) / g^2.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos provar a regra de derivação para o gradiente de um quociente de duas funções, ou seja, encontrar . Aqui, nabla é o operador gradiente, que nos dá um vetor com as derivadas parciais de uma função em relação a cada uma das suas variáveis. Para isso, vamos precisar usar a regra do quociente para derivar funções e entender como aplicá-la ao operador gradiente.

Passo 2

Primeiro, lembremos da regra do quociente para derivadas de funções escalares. Se temos duas funções f(x) e g(x), com , a derivada de em relação a x é dada por:
Queremos uma expressão semelhante, mas agora para o operador gradiente que atua em funções de várias variáveis.

Passo 3

O operador gradiente nabla atua em funções escalares de várias variáveis, e resulta em um vetor cujas componentes são as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Por exemplo, se temos uma função , então:
Então, para a função , teremos:
E o mesmo vale para as outras derivadas parciais.

Passo 4

Isso significa que podemos aplicar a regra do quociente a cada componente do gradiente. Então, o gradiente de será um vetor cujas componentes são dadas por:

Passo 5

Mas podemos expressar isso de forma mais compacta usando o próprio operador gradiente. Observe que:
Portanto, a expressão para o gradiente do quociente fica:

Resposta

Então, demonstramos que:

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